Четырёхугольники и площади

Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника, поэтому сумма внутренних углов равна 360°. Это не означает равенства углов между собой.

В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны и равны, противоположные углы равны, соседние дают 180°. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Площадь S=ah: основание умножаем на перпендикулярную высоту. Также S=ab sinα для соседних сторон и угла между ними.

У прямоугольника все углы прямые; площадь ab, диагональ √(a²+b²). Его диагонали равны, но обычно не перпендикулярны.

У ромба все стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам. Поэтому $S=d_1d_2/2$. Сторону можно найти по половинам диагоналей с помощью Пифагора.

Квадрат одновременно прямоугольник и ромб: S=a², d=a√2. Равенство всех сторон само по себе не доказывает прямые углы.

У трапеции основания — параллельные стороны. Если они равны a, b, а расстояние между их прямыми h, площадь $S=(a+b)h/2$. Средняя линия m соединяет середины боковых сторон и равна (a+b)/2, поэтому S=mh.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны и углы при каждом основании равны. Опустив высоты, получаем по краям прямоугольные треугольники с горизонтальным катетом |a−b|/2. Так можно найти высоту по боковой стороне.

Например, основания 6 и 14, боковая сторона 5: половина разности 4, высота √(25−16)=3, площадь 30.

Г-образную фигуру удобно дополнить до прямоугольника и вычесть вырез. Если внешний прямоугольник 10×8, вырез 4×3, площадь 80−12=68. Вырез должен целиком лежать внутри внешнего прямоугольника.

Площадь складывается, если внутренности частей не пересекаются. Периметры обычно не складываются: общая граница находится внутри фигуры. При переводе единиц помните: 1 м²=10000 см², потому что оба измерения умножаются на 100.