Формулы сокращённого умножения: понять и применить

У квадрата со стороной $a+b$ площадь $(a+b)^2$. Если разделить каждую сторону на части $a$ и $b$, внутри получатся четыре участка: $a^2$, $ab$, ещё один $ab$ и $b^2$. Поэтому два средних участка дают $2ab$.

От рисунка к формуле

Для положительных $a$ и $b$ это видно по площадям. Умножение скобок доказывает равенство для любых действительных чисел:

Получаем квадрат суммы:

Равенство, верное при всех допустимых значениях букв, называется тождеством. Формулы сокращённого умножения — тождества, которые позволяют не перемножать скобки заново каждый раз.

Квадрат разности

Заменяем $b$ на $-b$. Среднее слагаемое меняет знак, а $(-b)^2=b^2$:

Например, $(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9$. Квадрат действует и на коэффициент $2$.

В произведении $(a-b)(a+b)$ средние слагаемые $ab$ и $-ab$ уничтожаются. Остаются только квадраты:

Это разность квадратов, а не квадрат разности. У $a^2-b^2$ два слагаемых; у $(a-b)^2$ после раскрытия их три.

Как распознать формулу

В $25x^2-49$ первый квадрат — $(5x)^2$, второй — $7^2$. Значит, $25x^2-49=(5x-7)(5x+7)$.

Формула помогает и считать: $103\cdot 97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991$. Числа расположены на одинаковом расстоянии от $100$.

Сумма квадратов $a^2+b^2$ по этой формуле не раскладывается: $(a-b)(a+b)$ обязательно даёт минус между квадратами.

Чтобы разложить $9x^2+24x+16$, мало заметить квадраты $(3x)^2$ и $4^2$. Нужно проверить среднее слагаемое: $2\cdot 3x\cdot 4=24x$. Все три части совпали, поэтому ответ $(3x+4)^2$.

Проверка перед сворачиванием

1. Представьте крайние слагаемые как $a^2$ и $b^2$.
2. Вычислите $2ab$ и сравните со средним слагаемым.
3. Выберите знак: $+2ab$ соответствует $(a+b)^2$, $-2ab$ — $(a-b)^2$.

Например, $9x^2+12x+16$ не равно $(3x+4)^2$: для выбранных $a$ и $b$ среднее слагаемое должно быть $24x$, а не $12x$.

Куб суммы означает три одинаковых множителя: $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$. Умножаем уже известный квадрат на ещё одну скобку:

После раскрытия получаем:

Один член $a^2b$ и два таких же члена дают $3a^2b$; аналогично получаем $3ab^2$. Поэтому:

Замена $b$ на $-b$ даёт:

Как проверить знаки и степени

У куба разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус. В каждом члене суммарная степень по $a$ и $b$ равна $3$: $3+0$, $2+1$, $1+2$, $0+3$.

Например, $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$. Подстановка $x=0$ быстро проверяет последний знак: обе стороны равны $-8$.

В выражении $a^3+b^3$ всего два куба, а скобка в куб не возводится. Чтобы разложить такую сумму, используем:

Для разности:

Почему вторая скобка устроена именно так

Проверим разность раскрытием:

Смешанные члены уничтожаются. Во второй скобке нет коэффициента 2 перед $ab$: это не квадрат суммы или разности. Выражения $a^2-ab+b^2$ и $a^2+ab+b^2$ называют соответственно неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы.

Например, $8x^3+27=(2x)^3+3^3=(2x+3)(4x^2-6x+9)$. В первой скобке знак исходный, перед $ab$ — противоположный, перед последним квадратом всегда плюс.

Задача подсказывает направление преобразования. «Раскрыть скобки» — превратить произведение в сумму; «разложить» — сделать наоборот. Для сокращения дроби обычно нужно разложение.

Порядок действий

1. Сначала вынесите общий множитель, если он есть: $3x^2-27=3(x^2-9)$.
2. Определите форму остатка: здесь разность квадратов, значит, $3(x-3)(x+3)$.
3. Проверьте, нельзя ли разложить ещё: $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$.
4. Для дроби сначала запишите ОДЗ — область допустимых значений исходного выражения. Знаменатель не равен нулю.

Например, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ только при $x\ne2$. Формула сокращает запись, но не убирает исходный запрет.

Быстрая самопроверка

Раскройте полученные множители обратно. Подстановка одного удобного числа может обнаружить ошибку, но не доказывает тождество для всех значений.