Степени и их свойства

Произведение трёх одинаковых множителей $5$ — это $5 \times 5 \times 5 = 125$. Короткая запись этого произведения — $5^3$ («пять в третьей степени»).

• Основание $5$ — число, которое повторяется в произведении.
• Показатель $3$ — количество одинаковых множителей.
• Значение степени — результат вычисления, здесь $125$.

Поэтому $5^3$ не равно $5 \times 3$.

В общем виде буква $a$ обозначает основание, а $n$ — показатель. Для натурального показателя $n$ запись $a^n$ означает произведение $n$ одинаковых множителей $a$; отдельно $a^1=a$. «Натуральный» здесь означает целый положительный: $1, 2, 3, \ldots$.

Основание со скобками и без

Скобки определяют основание: $(-4)^2=(-4)\times (-4)=16$, но $-4^2=-(4\times 4)=-16$. В первом случае в квадрат возводится отрицательное число целиком, во втором минус стоит перед готовой степенью. Чётное число отрицательных множителей даёт плюс, нечётное — минус.

Дробь $\frac{p}{q}$ означает деление $p$ на $q$; знаменатель $q$ не может быть нулём. При умножении дробей перемножают числители и знаменатели: $\frac23 \times \frac35=\frac6{15}=\frac25$.

Обратное число и деление

Обратное число к ненулевому числу — то, которое при умножении на него даёт $1$: для $\frac23$ это $\frac32$. Деление на ненулевую дробь заменяют умножением на обратную: $\frac23 : \frac45 = \frac23 \times \frac54 = \frac56$.

Смешанное число и знак минус

Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь: $1\frac12=\frac32$. Например, $(1\frac12)^2=(\frac32)^2=\frac94$. Скобки включают в основание и минус: $(-\frac23)^2=\frac49$, но $-(\frac23)^2=-\frac49$.

Умножение одинаковых оснований

В $a^3 \times a^2$ три множителя $a$ соединяются с ещё двумя. Получается $a^5$, поэтому показатели складывают: $a^m \times a^n=a^{m+n}$.

Деление одинаковых оснований

В $\frac{a^5}{a^2}$ можно сократить два одинаковых множителя сверху и снизу. Остаётся $a^3$, поэтому показатели вычитают: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, если $a\ne0$.

Степень степени

$(a^2)^3$ — это три множителя $a^2$, всего шесть множителей $a$. Значит, $(a^m)^n=a^{mn}$: показатели перемножают.

Степень произведения и дроби

В степень возводится каждый множитель: $(ab)^n=a^n b^n$ и $(\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}$, где $b\ne0$. Например, $(2x)^3=2^3x^3=8x^3$.

Где работают эти правила

Пока мы объяснили правила для натуральных показателей; в примере с делением показатель числителя больше показателя знаменателя. Ниже определим нулевую и отрицательную степени так, чтобы эти правила продолжали работать при $a\ne0$. Затем разберём дробные показатели.

Эти правила описывают произведения и частные, а не суммы: $2^3+2^3=2\times 2^3=16$, а не $2^6$. Если основания различаются, сначала проверьте, можно ли переписать их через общее основание: $4^3\times 2^2=(2^2)^3\times 2^2=2^8$.

При уменьшении показателя на $1$ значение степени с основанием $2$ каждый раз делится на $2$: $2^3=8$, $2^2=4$, $2^1=2$. Продолжая тот же шаг, получаем $2^0=1$, $2^{-1}=\frac12$, $2^{-2}=\frac14$.

Нулевая степень

Нулевая степень ненулевого числа равна единице: $a^0=1$ при $a\ne0$. Это согласуется с делением: $\frac{a^3}{a^3}=1=a^{3-3}$.

Отрицательная степень

Отрицательный показатель означает обратное число, а не отрицательный результат:

Так, $6^{-2}=\frac1{36}$, а $(\frac25)^{-2}=(\frac52)^2=\frac{25}{4}$. Почему дробь переворачивается? Отрицательная степень даёт обратное число, а деление на дробь заменяется умножением на обратную:

Отрицательное основание

Для отрицательного основания знак по-прежнему зависит от чётности: $(-2)^{-3}=\frac1{(-2)^3}=-\frac18$.

Правила для любых целых показателей

Положительные и отрицательные целые числа вместе с нулём образуют целые числа. Правила степеней теперь работают для любых целых показателей при ненулевых основаниях. Например, $a^2\times a^{-2}=a^{2-2}=a^0=1$; тот же результат даёт $a^2\times \frac1{a^2}=1$.

Ноль в основании

При положительном целом $n$ верно $0^n=0$. Выражение $0^0$ в этом школьном материале не определяем; $0^{-n}$ не существует, потому что потребовало бы деления на ноль.

Квадратный корень из $25$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $25$: $\sqrt{25}=5$. Кубический корень из $8$ — число, куб которого равен $8$: $\sqrt[3]{8}=2$.

Почему дробный показатель означает корень

Дробный показатель связывает степень и корень. Почему именно корень? При $a>0$ хотим сохранить правило степени степени: $(a^{1/2})^2=a^{(1/2)\times 2}=a$. Значит, $a^{1/2}$ определяем как положительное число, квадрат которого равен $a$: это $\sqrt a$. Аналогично $a^{1/3}$ — положительное число, куб которого равен $a$.

Как читать числитель и знаменатель показателя

Число, которое можно записать дробью $m/n$ с целым $m$ и положительным целым $n$, называют рациональным. Отсюда название «степень с рациональным показателем»; целые показатели тоже входят в этот случай. Для положительного основания $a$:

Здесь $m$ — целое число, $n$ — целое число больше $1$. Знаменатель показателя задаёт степень корня, числитель — последующее возведение в степень. Например, $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$. Часто извлечь корень первым проще, чем сначала возводить большое число в степень.

От корней к степеням

Запись работает и в обратную сторону: $\sqrt{x}\times \sqrt[3]{x}=x^{1/2}\times x^{1/3}=x^{5/6}$ при $x>0$. Так корни превращаются в степени с общим основанием.

Отрицательный и десятичный показатель

Минус в показателе добавляет обратное число: $25^{-1/2}=\frac1{\sqrt{25}}=\frac15$. Десятичный показатель можно записать дробью: $0{,}5=\frac12$, $0{,}75=\frac34$.

Ограничения на основание

В правилах с произвольными дробными показателями на этой странице принимаем $a>0$. Не переносите их автоматически на отрицательные основания: корень $\sqrt[3]{-8}=-2$ существует, но произвольные преобразования дробных степеней отрицательных чисел требуют отдельного разбора. Для нуля положительную рациональную степень можно определить как $0$; отрицательная снова не определена.