Радикалы и выражения с корнями

У квадрата площадью $36$ сторона равна $6$: ведь $6^2=36$. Запись $\sqrt{36}=6$ отвечает на вопрос «какое неотрицательное число в квадрате даёт $36$?».

Знак $\sqrt{\phantom{x}}$ называют радикалом, а число или выражение под ним — подкоренным выражением. Арифметический квадратный корень $\sqrt a$ определён при $a\ge0$ и сам неотрицателен. При этом $\sqrt0=0$.

Корень и уравнение — разные вопросы

Не путайте значение корня с решением уравнения: $\sqrt{36}=6$, а уравнение $x^2=36$ имеет два решения: $x=6$ и $x=-6$.

Когда корень не является целым числом

Не каждый корень — целое число. Например, $\sqrt2$ нельзя записать отношением двух целых чисел: это иррациональное число. В задачах $\sqrt2$ обычно оставляют как точное значение, а не заменяют округлением. Выражения с переменной под корнем, например $\sqrt{x+2}$, называют иррациональными выражениями.

В $\sqrt{x-4}$ под корнем должно быть число не меньше нуля: $x-4\ge0$, то есть $x\ge4$. Это область допустимых значений, сокращённо ОДЗ: все значения переменной, при которых исходная запись имеет смысл.

Если корень стоит в знаменателе, ноль тоже запрещён. Для $\frac1{\sqrt{x-4}}$ нужно $x-4>0$, поэтому $x>4$. Для $\frac{\sqrt{x-4}}{x-6}$ условия другие: $x\ge4$ и $x\ne6$.

ОДЗ проверяют до сокращения и сохраняют в ответе. Упростив запись, нельзя вернуть в неё значение, запрещённое исходным знаменателем.

Числа $5$ и $-5$ имеют одинаковый квадрат $25$. Но $\sqrt{25}=5$. Значит, корень из квадрата «возвращает» величину числа без минуса.

Модуль $|x|$ — расстояние от числа $x$ до нуля: $|5|=|-5|=5$. Поэтому при любом действительном $x$:

Если $x\ge0$, модуль равен $x$; если $x<0$, равен $-x$. Например, при $x<2$ выражение $x-2$ отрицательно, так что $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=2-x$.

Число $18$ можно записать как $9\times 2$. Квадрат числа $3\sqrt2$ равен $9\times 2=18$, и само оно положительно. Поэтому $\sqrt{18}=3\sqrt2$.

Свойства произведения и дроби

В общем виде $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ при $a\ge0$, $b\ge0$. Для дроби $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ при $a\ge0$, $b>0$. Полный квадрат при разложении целого числа — квадрат целого числа, то есть число вида $k^2$ с целым $k$; полезно искать такие множители, как $4$, $9$, $16$, $25$.

Например, $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt3$. Обратное действие — внесение под корень: $4\sqrt3=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{48}$. Если внешний множитель отрицателен, минус остаётся снаружи: $-4\sqrt3=-\sqrt{48}$.

Сложение одинаковых радикалов

После упрощения можно объединять одинаковые радикалы: $2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$, как $2x+5x=7x$. Но $\sqrt2+\sqrt3$ так не складывается. Корень из суммы нельзя разбить на сумму корней: $\sqrt{9+16}=5$, тогда как $\sqrt9+\sqrt{16}=7$.

Сравнение без округления

При сравнении неотрицательных чисел можно сравнить их квадраты. Так, $3\sqrt2$ больше $4$: их квадраты равны $18$ и $16$. Сначала обязательно проверьте знаки сравниваемых чисел.

Дробь не меняется, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число. Поэтому $\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$: домножаем обе части дроби на $\sqrt3$, а $\sqrt3\times \sqrt3=3$. Это называют освобождением от иррациональности в знаменателе, или рационализацией.

Если в знаменателе сумма или разность

Если знаменатель — сумма $\sqrt5+1$, домножаем на $\sqrt5-1$. Такие выражения называют сопряжёнными: они отличаются знаком между слагаемыми. При умножении средние слагаемые взаимно уничтожаются:

Получается $(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4$. Например, $\frac4{\sqrt5+1}=\frac{4(\sqrt5-1)}4=\sqrt5-1$: теперь знаменатель без корня. В выражениях с переменной нельзя домножать на сопряжённое, если оно равно нулю: такой случай рассматривают отдельно или выбирают другой способ.

Запись $\sqrt[3]{27}=3$ означает, что $3^3=27$. Маленькая цифра $3$ — показатель корня. У квадратного корня показатель $2$ обычно не пишут.

Корень нечётной степени существует и у отрицательного числа: $\sqrt[3]{-27}=-3$. В отличие от квадратного корня, здесь отрицательный ответ допустим. Например, $\sqrt[3]{-16}=\sqrt[3]{-8\times 2}=-2\sqrt[3]2$.

Связь с дробными степенями

При $a>0$ корни можно записывать дробными степенями: $\sqrt[n]a=a^{1/n}$, $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$, где $m$ — целое, а $n$ — целое больше $1$. Например, $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$. Корни других нечётных степеней тоже допускают отрицательное подкоренное число: $\sqrt[5]{-32}=-2$. Корень чётной степени, например $\sqrt[4]a$, определён в действительных числах при $a\ge0$ и неотрицателен.

Какие основания допускаем

В этом уроке запись $a^{m/n}$ используем при $a>0$. Для отрицательных чисел сохраняем запись нечётного корня — например, $\sqrt[3]{-8}=-2$. Правила дробных степеней из этого урока не переносим автоматически на отрицательные основания.