Треугольники: подобие и метрические соотношения

У треугольника три стороны и три угла; сумма внутренних углов 180°. Для сторон 3, 4 и 5 выполняется 3²+4²=5², поэтому угол напротив 5 прямой. Самая длинная сторона лежит напротив самого большого угла.

Высота к стороне a — перпендикуляр от противоположной вершины к прямой, содержащей эту сторону. Она может падать на продолжение стороны. Площадь $S=ah_a/2$. Не подставляйте боковую сторону вместо высоты без доказательства перпендикулярности.

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; биссектриса делит угол пополам. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой.

Каждая сторона невырожденного треугольника меньше суммы двух других: a<b+c, b<a+c, c<a+b.

При катетах a, b и гипотенузе c теорема Пифагора даёт a²+b²=c². Для катетов 6 и 8 получаем c=10. Обратная теорема позволяет подтвердить прямой угол по равенству квадратов.

Для острого угла α синус равен противолежащему катету / гипотенузе, косинус — прилежащему / гипотенузе, тангенс — противолежащему / прилежащему. Катет напротив 30° равен половине гипотенузы.

Высота h к гипотенузе разбивает её на отрезки p и q. Из подобия следуют $h^2=pq$, $a^2=cp$, $b^2=cq$, где p — проекция катета a на гипотенузу, q — проекция катета b.

Если у двух треугольников равны два соответствующих угла, то третий тоже равен, треугольники подобны: соответствующие стороны пропорциональны. Другие признаки — две пропорциональные стороны и равный угол между ними; три пропорциональные стороны.

Если стороны второго в k раз больше, периметр увеличивается в k раз, а площадь — в k². Например, при k=3 площадь 5 см² превращается в 45 см². Записывайте вершины в соответствующем порядке: совпадающие углы указывают, какие стороны сравнивать.

Если DE параллельно BC и D, E лежат на AB, AC, то ADE подобен ABC. Коэффициент AD/AB определяет AE/AC и DE/BC.

Для сторон a, b и угла C между ними $S=ab\sin C/2$. Если a=6, b=8, C=30°, площадь равна 12. Угол должен лежать между выбранными сторонами.

Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. При C=90° она превращается в теорему Пифагора. Теорема синусов: $a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$, где R — радиус описанной окружности.

Для трёх известных сторон удобна формула Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, p=(a+b+c)/2 — полупериметр. Радиус вписанной окружности r=S/p, описанной R=abc/(4S). Сначала убедитесь, что стороны образуют невырожденный треугольник.

Биссектриса AD делит сторону BC в отношении прилегающих сторон: BD/DC=AB/AC. При AB=6, AC=9, BC=10 части составляют 4 и 6, потому что их отношение 2:3 и сумма 10.

Медиана к стороне a имеет длину $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Это свойство нельзя переносить на произвольную медиану.