Многочлены: от суммы к произведению

В записи $3x+6$ выражения $3x$ и $6$ складываются: это слагаемые. В записи $3(x+2)$ число $3$ и выражение $x+2$ перемножаются: это множители. Различать их важно для сокращения дробей.

Из чего состоит многочлен

Одночлен — произведение числа и переменных в неотрицательных целых степенях: например, $-4x^2y$. Его числовой множитель $-4$ называют коэффициентом. Число без переменной тоже может быть одночленом.

Многочлен — сумма одночленов; вычитание рассматриваем как сложение с отрицательным слагаемым. Например, $3x^2-5x+2$ состоит из $3x^2$, $-5x$ и $2$. Число $2$ — свободный член. Записи $1/x$ и $\sqrt x$ многочленами по $x$ не являются.

Какие слагаемые можно объединить

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с одинаковыми показателями. Поэтому $3x^2+5x^2=8x^2$, но $3x^2+5x$ объединить нельзя. После приведения подобных слагаемых получается стандартный вид многочлена.

Как определить степень многочлена

Степень одночлена — сумма показателей его переменных: у $-4x^2y$ это $2+1=3$. Степень ненулевого многочлена — наибольшая степень его одночленов после приведения подобных. Например, $x^3-x^3+2x^2$ имеет степень $2$, а не $3$. Ненулевой постоянный многочлен имеет степень $0$; степень нулевого многочлена в этом уроке не задаём.

Три группы по $x+2$ — это $3x+6$, поэтому $3(x+2)=3x+6$. Это распределительное свойство: $a(b+c)=ab+ac$.

Минус перед скобками

Если перед скобками минус, он означает умножение на $-1$. Так, $-(2x-5)=-2x+5$: меняется знак каждого слагаемого.

Произведение двух скобок

Для двух скобок каждое слагаемое первой умножают на каждое слагаемое второй:

Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называют тождеством. Раскрытие скобок — тождественное преобразование. Проверка при одном числе может обнаружить ошибку, но не доказывает тождество для всех чисел.

В сумме $8x^2+12x$ оба слагаемых содержат $4x$. Делим каждое на выбранный общий множитель и записываем в скобках частные — результаты деления:

Это разложение на множители: заменяем сумму произведением, не меняя значения. Чтобы разложить полнее, выносим наибольший общий делитель коэффициентов и общие переменные в наименьших степенях. Проверяем, не остался ли общий множитель внутри скобок. Проверка — раскрыть полученные скобки. Само тождество верно и при $x=0$: здесь мы не делим исходное выражение на переменную.

Группировка

Если общего множителя для всех слагаемых не видно, попробуйте группировку:

Теперь общий множитель — целая скобка $x+y$, поэтому результат $(a+2)(x+y)$. Скобки внутри групп должны совпасть; при необходимости можно вынести минус: $2-x=-(x-2)$.

Из умножения скобок получаем разность квадратов:

Например, $x^2-25=(x-5)(x+5)$.

Квадрат суммы и разности

Их тоже получают умножением скобок:

Среднее слагаемое обязательно: $(x+3)^2=x^2+6x+9$. Эти три формулы — разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности — помогают в базовых преобразованиях; формулы кубов и более сложные комбинации здесь не разбираем.

Разложение квадратного трёхчлена

Для трёхчлена $x^2+px+q$ ищем числа $r$, $s$, у которых $r+s=p$, $rs=q$. Ведь $(x+r)(x+s)=x^2+(r+s)x+rs$. Например, для $x^2+7x+10$ подходят $2$ и $5$: получаем $(x+2)(x+5)$. Если $q<0$, числа $r$ и $s$ разных знаков; при $p\ne0$ число с большим модулем имеет знак $p$. Не каждый трёхчлен раскладывается с целыми числами; общий способ через корни квадратного уравнения изучают отдельно.

Рациональная дробь — отношение двух многочленов, например $\frac{x^2-9}{x-3}$. Знаменатель не может быть нулём. ОДЗ, область допустимых значений, — все значения переменной, при которых исходная запись имеет смысл. Здесь $x\ne3$.

Разложим числитель и сократим общий ненулевой множитель:

Почему ОДЗ сохраняется

Короткая запись $x+3$ сама определена и при $x=3$, но исходная дробь — нет. Поэтому ограничение остаётся частью ответа.

Почему нельзя сокращать отдельные слагаемые

В $\frac{x+3}{x}$ слагаемое $x$ не является множителем всего числителя. При $x\ne0$ дробь равна $1+\frac3x$, а не $3$ и не $4$. Сначала разложение — только потом сокращение.

Если множители отличаются знаком

Если множители отличаются знаком, сначала выносим минус. Например, $\frac{4-x^2}{x-2}=\frac{-(x-2)(x+2)}{x-2}=-(x+2)$ при $x\ne2$.

Правила те же, что для числовых дробей. При умножении перемножают числители и знаменатели; удобнее заранее разложить их на множители. Например:

Деление: проверьте сам делитель

При делении вторую дробь переворачивают и умножают. Кроме ненулевых знаменателей, сам делитель должен быть ненулевым. Поэтому в $\frac{x+1}{x}:\frac{x-2}{x}$ запрещены и $x=0$, и $x=2$.

Общий знаменатель

Для сложения и вычитания нужен общий знаменатель. Например, при $x\ne0$:

Если знаменатели — $x-1$ и $x+1$, можно взять их произведение. Если один знаменатель уже содержит другой как множитель, достаточно знаменателя, который делится на оба: для $x$ и $x^2$ нужен $x^2$.

Скобки при вычитании и возведении в степень

При вычитании дроби её числитель берите в скобки: $\frac Ax-\frac Bx=\frac{A-B}{x}$. Тогда минус правильно подействует на каждое слагаемое $B$. Если дробь возводят в натуральную степень, возводят и числитель, и знаменатель: $(\frac AB)^n=\frac{A^n}{B^n}$ при $B\ne0$.