Окружность, круг и взаимное расположение фигур

Окружность — множество точек на расстоянии R от центра O. Радиус соединяет центр с точкой окружности. Хорда соединяет две точки окружности; диаметр — хорда через центр, его длина 2R.

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Поэтому при радиусе 5 и расстоянии до хорды 3 половина хорды равна √(25−9)=4, вся хорда 8. При одинаковом радиусе более близкая к центру хорда длиннее.

Круг включает окружность и все точки внутри неё. Поэтому длину считают для окружности, а площадь — для круга.

Центральный угол имеет вершину в центре; вписанный — на окружности. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается и которая не содержит его вершину.

Если центральный угол над той же дугой равен 100°, вписанный равен 50°. Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме 180°.

Касательная имеет с окружностью одну общую точку и перпендикулярна радиусу в ней. Если из внешней точки P проведены две касательные PA и PB, их длины равны.

Для касательной PT и секущей PAB (A ближе к P) действует PT²=PA·PB. PB — вся секущая от внешней точки, а не только внутренняя часть AB. Для двух секущих PA·PB=PC·PD; A и C — ближайшие к внешней точке P точки пересечения.

Если две хорды пересекаются внутри окружности в точке M, произведения частей равны: MA·MB=MC·MD. Эти равенства следуют из подобия соответствующих треугольников.

Длина окружности 2πR, площадь круга πR². Сектор с углом α градусов составляет α/360 часть круга:

Если угол θ в радианах, l=Rθ и S=R²θ/2. Например, четверть круга радиуса 4 имеет дугу 2π и площадь 4π.

Сегмент ограничен хордой и дугой. Для меньшего сегмента с центральным углом 0<α≤180° его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника из двух радиусов и хорды. Это не то же самое, что сектор. Площадь этого треугольника $S_{\triangle}=R^2\sin\alpha/2$, где α — угол между радиусами.

Пусть радиусы R, r, расстояние центров d. Если |R−r|<d<R+r, окружности пересекаются в двух точках. При d=R+r — внешнее касание; при d=|R−r|>0 — внутреннее.

Если d>R+r, каждая лежит вне другой; если d<|R−r|, одна внутри другой без касания. При d=0 и R=r окружности совпадают и общих точек бесконечно много. При d=0 и R≠r они концентрические и общих точек нет.

Для прямой достаточно сравнить расстояние от центра до прямой с радиусом: меньше — две точки, равно — касательная, больше — ни одной.