Цилиндр, конус и шар

У прямого кругового цилиндра два равных круглых основания. Радиус r измеряют от центра до края, высоту h — между плоскостями оснований. Объём равен площади основания, умноженной на высоту:

Если развернуть боковую поверхность, получится прямоугольник со сторонами 2πr и h. Поэтому $S_{\text{бок}}=2\pi rh$, а полная поверхность $S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2$. Для открытого сверху сосуда учитывают только одно дно: читайте условие.

Осевое сечение проходит через ось цилиндра. Это прямоугольник со сторонами 2r и h, а не r и h. Например, при r=3, h=8 его диагональ равна √(6²+8²)=10.

В прямом круговом конусе высота h идёт от вершины к центру основания перпендикулярно его плоскости. Образующая l идёт от вершины к точке окружности основания. В осевом сечении SOA возникает прямоугольный треугольник, показанный на рисунке.

Боковая площадь $S_{\text{бок}}=\pi rl$, полная — $S_{\text{полн}}=\pi rl+\pi r^2$. Для объёма используйте h, для боковой площади l. Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой h; его площадь rh.

Конус с r=3 и h=4 имеет l=5. Тогда объём 12π, боковая площадь 15π, полная 24π. Это три разные величины: объём измеряется в кубических единицах, обе площади — в квадратных.

Сфера состоит из точек на расстоянии R от центра. Шар содержит и поверхность, и внутренние точки. Площадь сферы и объём шара:

Плоскость через центр даёт большой круг радиуса R. Если плоскость удалена от центра на d, где 0≤d<R, радиус сечения ρ удовлетворяет $\rho^2=R^2-d^2$. При d=R плоскость касается сферы в одной точке; при d>R сечения нет.

У полушара объём равен половине объёма шара. Его криволинейная поверхность равна 2πR², а полная поверхность с плоским кругом — 3πR².

Усечённый прямой конус получают сечением, параллельным основанию. Обозначим радиусы R>r, высоту h, образующую l. В осевом сечении $l^2=h^2+(R-r)^2$.

Для полной поверхности прибавьте площади обоих оснований. В составном теле объёмы частей, не имеющих общих внутренних точек, складываются; при вырезании части её объём вычитается. В площадь внешней поверхности не включают внутренние места соединения.

При увеличении всех длин в k раз площади меняются в k² раз, объёмы в k³ раз. Если изменился только радиус цилиндра, высота не масштабируется автоматически.