Призмы, пирамиды и сечения

Призма имеет два равных основания в параллельных плоскостях; боковые грани — параллелограммы. Высота h — расстояние между плоскостями оснований. Здесь Sосн — площадь основания, Pосн — его периметр. Объём $V=S_{\text{осн}}h$ верен и для наклонной призмы.

В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте; боковые грани прямоугольные. Тогда $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}h$, полная площадь $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$.

У прямоугольного параллелепипеда V=abc, Sполн=2(ab+bc+ac), пространственная диагональ √(a²+b²+c²). У куба V=a³, Sполн=6a².

У пирамиды одно основание, все боковые грани сходятся в вершине. Объём $V=\frac13S_{\text{осн}}h$; h перпендикулярна плоскости основания, а не идёт по наклонному ребру.

В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, вершина над его центром. Апофема l — высота боковой грани к стороне основания. Все апофемы равны, $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}l/2$; $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$.

При квадратном основании со стороной a апофема удовлетворяет l²=h²+(a/2)². Боковое ребро вычисляется с другим катетом: расстоянием от центра до вершины квадрата a/√2.

Сечение — фигура пересечения многогранника плоскостью. Если две точки сечения принадлежат одной грани, соединяющий их отрезок лежит в этой грани. Продолжая по соседним граням, замыкаем многоугольник.

Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, равно основанию. В прямоугольном параллелепипеде диагональное сечение через диагональ основания и параллельно боковым рёбрам — прямоугольник со сторонами dосн и h.

У пирамиды сечение плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию. Если расстояние от вершины до секущей плоскости равно kH, где H — полная высота и 0<k<1, то стороны сечения умножаются на k, площадь на k², объём маленькой пирамиды на k³. Расстояние здесь считается от вершины, а не от основания.

Отсекая верх пирамиды параллельно основанию, получаем усечённую пирамиду. При площадях параллельных оснований S₁ и S₂ и перпендикулярной высоте h её объём:

Формула относится именно к усечённой пирамиде, а не к произвольному телу с двумя основаниями. Другой способ — вычесть объём маленькой пирамиды из большой, пользуясь подобием.

Если все линейные размеры тела изменены в k раз (k>0), площади меняются в k² раз, объёмы — в k³ раз. При изменении только высоты с постоянным основанием объём изменяется пропорционально высоте.