Функции, графики и параметры

У правила f(x)=2x+3 вход x=1 даёт 5, вход x=2 даёт 7. Запись f(2) означает значение при x=2, а не произведение f на 2. Функция каждому допустимому аргументу сопоставляет ровно одно значение.

График состоит из точек (x;f(x)). На нём горизонтальная координата — аргумент, вертикальная — результат. Прямая x=c не может пересекать график функции в двух точках: одному входу нельзя назначить два выхода. Область значений — все получающиеся выходы; её не следует путать с областью определения.

Для $f(x)=\sqrt{x-1}/(x-3)$ одновременно нужны x−1≥0 и x−3≠0. Поэтому область определения $[1;3)\cup(3;+\infty)$.

Проверяйте исходную запись: под корнем чётной степени должно быть неотрицательное число, знаменатель не равен нулю, аргумент логарифма положителен. Ограничения объединяются словом «и». После сокращения дроби запрещённая точка остаётся запрещённой.

Для $y=(x-2)^2+1$ любой x допустим. Квадрат неотрицателен, минимум 1 достигается при x=2. Область значений — [1;+∞).

В $y=(x-2)^2+1$ график y=x² сдвинут на 2 вправо и на 1 вверх. Вершина (2;1), ось симметрии x=2. На рисунке можно проверить точки (1;2) и (3;2).

В y=f(x−h) при h>0 график сдвигается вправо на h, при h<0 — влево на |h|; добавление k снаружи сдвигает его на k вверх. Минус перед f(x) отражает график относительно оси x. В y=|f(x)| части графика ниже оси Ox симметрично отражаются относительно этой оси; части выше неё остаются на месте.

Нули функции — аргументы, при которых y=0. Интервалы положительности лежат там, где график выше оси x. При возрастании движение вправо ведёт вверх. У параболы с вершиной (2;1) функция убывает до 2 и возрастает после 2.

У функции $y=x^2$ область определения — вся прямая, значения неотрицательны; слева от нуля она убывает, справа возрастает. У $y=x^3$ и область, и множество значений — вся прямая, функция возрастает. У $y=1/x$ исключён нуль и среди аргументов, и среди значений; она убывает отдельно на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$. Нельзя объединять эти промежутки в один интервал: при −1<1 получаем f(−1)=−1<f(1)=1, что противоречило бы убыванию на всём объединении.

У $y=a^x$ при $a>0$, $a\ne1$ любой действительный x допустим, но выход всегда положителен. Все такие графики проходят через (0;1). При a>1 функция возрастает, при 0<a<1 убывает. Например, у $2^x$ значения для x=−1,0,1 равны 1/2,1,2.

У $y=\log_a x$ допустимы только x>0, а выход может быть любым действительным числом. График проходит через (1;0). При a>1 функция возрастает, при 0<a<1 убывает. Она обратна $a^x$: из $2^3=8$ следует $\log_2 8=3$. Графики взаимно обратных функций отражаются относительно прямой y=x.

Для f(x)=x² имеем f(−x)=f(x): функция чётная, график симметричен относительно оси y. Для f(x)=x³ имеем f(−x)=−f(x): функция нечётная, график симметричен относительно начала. В обоих определениях область должна быть симметрична относительно нуля.

Композиция f(g(x)) означает сначала g, потом f. Если f(t)=t², g(x)=x+1, получаем f(g(x))=(x+1)², а g(f(x))=x²+1: порядок важен.

Обратная функция возвращает вход по выходу. У y=2x−3 она задаётся y=(x+3)/2. Для y=x² на всей прямой обратной функции нет: одному y=4 соответствуют x=±2. Если ограничить исходную область x≥0, обратная — $y=\sqrt{x}$ при x≥0.

В уравнении x²=a число a — параметр: для каждого его фиксированного значения решаем отдельную задачу. Если a<0, решений нет; если a=0, одно; если a>0, два. Геометрически сравниваем параболу y=x² с горизонтальной прямой y=a.

Для x²−2x+a=0 дискриминант D=4−4a. Значит, два действительных корня при a<1, один при a=1, ни одного при a>1. Если коэффициент при x² содержит параметр и может обратиться в ноль, сначала отдельно разбирайте этот случай: уравнение может стать линейным.