Производная и касательная

Для пути s(t)=t² средняя скорость от t=2 до t=3 равна (9−4)/(3−2)=5. На более коротком промежутке от 2 до 2+h она равна $((2+h)^2-4)/h=4+h$, если h≠0.

Когда h приближается к нулю, это отношение приближается к 4. Производная s′(2)=4 — скорость в момент 2. В общем виде $f'(x)=\lim_{h\to0}(f(x+h)-f(x))/h$, если предел существует. Предел означает значение, к которому отношения приближаются при сколь угодно малых ненулевых h.

В разделе о касательной ниже показана прямая: касательная к y=x² в точке (1;1) имеет наклон 2. Производная — скорость изменения, а не значение функции. Эти числа могут совпасть, но описывают разное: для y=x² при x=1 значение равно 1, а производная — 2.

Для x² производная равна 2x; для x³ — 3x². Степенное правило: $(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}$ на области дифференцируемости. Производная постоянной равна 0, производная x — 1.

Производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится. Например, $(3x^2-4x+7)^{\prime}=6x-4$. Для произведения и частного действуют отдельные правила:

Не путайте производную произведения с произведением производных. У 1/x производная −1/x² при x≠0, у √x — 1/(2√x) при x>0.

В (3x−1)² сначала вычисляется внутреннее выражение 3x−1, затем результат возводится в квадрат. Внешняя производная даёт 2(3x−1), но само внутреннее выражение меняется со скоростью 3. Поэтому производная равна 6(3x−1).

Общее правило: $(f(g(x)))^{\prime}=f'(g(x))g'(x)$. В радианах $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$. Также $(e^x)^{\prime}=e^x$, $(a^x)^{\prime}=a^x\ln a$ при a>0, $(\ln x)^{\prime}=1/x$ при x>0. Например, $(\ln(2x+1))^{\prime}=2/(2x+1)$ при x>−1/2.

Для y=x² в x₀=1 имеем f(1)=1 и f′(1)=2. Нужна прямая с наклоном 2 через (1;1): y−1=2(x−1), то есть y=2x−1.

Общая формула при существующей производной:

Производная задаёт наклон, а не свободный член. Если требуется касательная, параллельная y=kx+b, сначала решаем f′(x₀)=k, затем для каждого найденного x₀ строим свою прямую.

У f(x)=x³−3x производная f′(x)=3(x−1)(x+1). Она положительна при x<−1 и x>1, отрицательна между −1 и 1. Значит, функция возрастает, затем убывает, затем снова возрастает.

В x=−1 знак меняется с + на −: локальный максимум f(−1)=2. В x=1 с − на +: локальный минимум f(1)=−2. Условие f′=0 само по себе не доказывает экстремум: у x³ производная нулевая в 0, но функция продолжает возрастать.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, сравните значения в концах и всех внутренних критических точках, где производная равна нулю или не существует. Например, для x² на [−1;2] проверяем −1,0,2: минимум 0, максимум 4.