Квадратные уравнения: от произведения к формуле корней

В уравнении $x^2-4=0$ ищем числа, квадрат которых равен $4$. Это $-2$ и $2$. Если построить график $y=x^2-4$, оба корня окажутся горизонтальными координатами точек, где $y=0$, то есть пересечений с осью $x$.

Стандартный вид

Квадратное уравнение имеет вид

$a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты; $c$ также называют свободным членом. В $2x^2-5x-3=0$ имеем $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Знаки входят в коэффициенты.

Если справа не ноль, сначала перенесите все слагаемые в одну часть: $x^2+2=3x$ превращается в $x^2-3x+2=0$. Только затем считывайте коэффициенты.

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, уравнение уже не квадратное. При $a=1$ квадратное уравнение называют приведённым.

Если $b=0$ или $c=0$, уравнение называют неполным. Часто формула корней здесь не нужна.

Нет линейного члена

$ax^2+c=0$ превращается в $x^2=-c/a$. Обозначим правую часть $r$:

• если $r>0$, два корня $x=\sqrt r$ и $x=-\sqrt r$;
• если $r=0$, один корень $x=0$;
• если $r<0$, действительных корней нет.

Например, $3x^2-12=0$ даёт $x=\pm2$, а $x^2+4=0$ действительных корней не имеет.

Нет свободного члена

В $ax^2+bx=0$ выносим $x$: $x(ax+b)=0$. Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

Так, $x^2-5x=0$ даёт $x=0$ или $x=5$. Деление исходного уравнения на $x$ потеряло бы нулевой корень. Если $b=0$ тоже, уравнение $ax^2=0$ имеет один корень $0$.

Если $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$, то уравнение $x^2-7x+12=0$ равносильно $(x-3)(x-4)=0$. Корни — $3$ и $4$. Правило нулевого произведения применяется именно тогда, когда справа ноль.

Если разложение не видно

Тогда поможет формула квадрата суммы. В $x^2+6x+5=0$ первые два члена входят в $(x+3)^2=x^2+6x+9$. Добавим и вычтем $9$:

Получаем $x=-1$ или $x=-5$. Такой способ называют выделением полного квадрата.

При восстановлении квадрата проверяйте средний член: в $(x+h)^2$ он равен $2hx$. Поэтому для $6x$ нужно $h=3$, а не $6$.

Выделение квадрата в общем уравнении приводит к равенству

Чтобы его получить, сначала перенесём $c$: $ax^2+bx=-c$. Умножим обе части на ненулевое $4a$ и прибавим $b^2$: слева получится $4a^2x^2+4abx+b^2=(2ax+b)^2$, справа — $b^2-4ac$. Число справа называют дискриминантом и обозначают $D$:

Три случая

• $D>0$: два различных действительных корня.
• $D=0$: один действительный корень (его также называют двойным).
• $D<0$: действительных корней нет, поскольку квадрат неотрицателен.

Для $D\ge0$ из $2ax+b=\pm\sqrt D$ получаем:

Это две записи: одна со знаком плюс, другая — минус. При $D=0$ они совпадают, и $x=-b/(2a)$. Делится весь числитель $-b\pm\sqrt D$; знаменатель — $2a$.

Как подставлять отрицательные коэффициенты

Для $2x^2-5x-3=0$ записывайте $D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. Скобки защищают знак: $(-5)^2=25$, тогда как $-5^2=-25$.

Если действительные корни $x_1$ и $x_2$ существуют, квадратный трёхчлен можно записать как $a(x-x_1)(x-x_2)$. При раскрытии получаем коэффициент $-a(x_1+x_2)$ при $x$ и свободный член $ax_1x_2$. Сравнение с $ax^2+bx+c$ даёт теорему Виета:

При двойном корне в этих формулах считают $x_1=x_2$. Если $D<0$, действительных $x_1,x_2$ нет: в рамках действительных чисел эти формулы не описывают существующую пару корней.

Обратная теорема

Если два числа $r$, $s$ имеют сумму $-b/a$ и произведение $c/a$, они являются корнями уравнения. Для приведённого вида $x^2+px+q=0$ ищем сумму $-p$ и произведение $q$.

Например, $x^2-x-6=0$: нужны сумма $1$ и произведение $-6$. Подходят $3$ и $-2$. Их произведение отрицательно — знаки разные.

Теорема Виета удобна, если числа быстро находятся, или если нужны только их сумма и произведение. Если подбор затягивается, переходите к дискриминанту: корни могут быть дробными или иррациональными.

Подставьте найденные числа в исходное уравнение. Дополнительная проверка — сравнить их сумму и произведение с теоремой Виета. Она помогает обнаружить ошибку в знаке или знаменателе формулы.

У задачи могут быть ограничения, которых нет у многочлена

Если $x$ — длина стороны, нужен $x>0$. Например, у прямоугольника стороны $x$ и $x+2$, площадь $24$. Уравнение $x(x+2)=24$ даёт корни $4$ и $-6$. Оба решают алгебраическое уравнение, но отрицательная длина не подходит условию: стороны $4$ и $6$.

Как выбрать метод

1. Приведите к нулю справа и определите коэффициенты.
2. При $b=0$ или $c=0$ проверьте короткий способ для неполного уравнения.
3. Если виден общий множитель или простой подбор по Виету — разложите.
4. Иначе вычислите дискриминант и примените формулу.
5. Проверьте корни и ограничения исходной задачи.

Не округляйте корни без требования: $1\pm\sqrt2$ — точный ответ.