Первообразная, интеграл и площадь

Если F′(x)=f(x) на промежутке, F называют первообразной для f. У f(x)=2x примеры первообразных — x², x²+5, x²−3. Общее семейство записывают $\int2x\, dx=x^2+C$.

Это неопределённый интеграл: результат — семейство функций, а C — произвольная постоянная. Если дана точка графика F, она определяет C. Например, F′=2x и F(1)=4 дают 1+C=4, значит, C=3.

Для n≠−1 действует $\int x^n\, dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ на подходящем промежутке области определения. Например, интеграл x² равен x³/3+C: производная действительно x².

Сумма интегрируется по слагаемым, постоянный множитель выносится. Отдельный случай: $\int dx/x=\ln|x|+C$ на промежутке, не содержащем 0. Также интеграл cos x равен sin x+C, интеграл sin x равен −cos x+C, интеграл eˣ равен eˣ+C.

Для f(ax+b) компенсируйте множитель a: $\int(2x+1)^3dx=(2x+1)^4/8+C$. Проверка производной даёт (4/8)·2·(2x+1)³, то есть исходную функцию. Для линейного аргумента при a≠0: $\int f(ax+b)\, dx=F(ax+b)/a+C$, где F′=f. При a=0 подынтегральная функция постоянна, если определена.

Для непрерывной f на [a;b] и её первообразной F формула Ньютона — Лейбница даёт:

Например, $\int_1^3 2x\, dx=3^2-1^2=8$. Постоянная сокращается, поэтому +C в численный ответ не добавляют. Перестановка пределов меняет знак; одинаковые пределы дают 0.

Интеграл складывает ориентированные вклады: над осью x положительные, под ней отрицательные. Поэтому нулевой интеграл ещё не означает нулевую геометрическую площадь.

График y=x на [−1;1] образует два треугольника площади 1/2 каждый. Определённый интеграл равен 0: отрицательный и положительный вклады сократились. Но общая площадь равна 1.

Для площади между графиком и осью x используйте $S=\int_a^b|f(x)|dx$: найдите нули и разбейте область по знаку. Между двумя графиками интегрируйте верхнюю функцию минус нижнюю, также разбивая промежуток при смене порядка.

Например, на [0;2] прямая y=2x выше y=x², а на концах они встречаются. Площадь $\int_0^2(2x-x^2)dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$. Единицы площади — квадратные, если координаты заданы в единицах длины.