Векторы, координаты и преобразования на плоскости

Вектор AB задаёт перемещение из A в B. При A(1;2), B(4;6) получаем AB=(3;4). Обратный вектор BA=(−3;−4), длина у них одинаковая, направления противоположные.

Векторы равны, если совпадают их длины и направления; их начала могут быть в разных точках. Нулевой вектор (0;0) имеет длину 0 и не задаёт направления. Длина вектора (a;b) равна √(a²+b²); для (3;4) это 5.

Сложение перемещений выполняется по координатам: (2;1)+(−1;3)=(1;4). Геометрически второй вектор прикладывают к концу первого. Умножение на k даёт (k a;k b), длина меняется в |k| раз, при k<0 направление меняется на противоположное.

Два ненулевых вектора коллинеарны, если один получается умножением другого на число. В координатах (a;b),(c;d) это ad−bc=0. Такая проверка не требует делить на координату, которая может быть нулевой.

Для u=(a;b), v=(c;d) скалярное произведение u·v=ac+bd. Это число, а не вектор. Для ненулевых векторов оно равно |u||v|cosφ.

Отсюда $\cos\varphi=(u\cdot v)/(|u||v|)$. Если произведение 0, ненулевые векторы перпендикулярны. Например, (2;1) и (1;−2) имеют произведение 2−2=0.

Для угла между векторами косинус может быть отрицательным, тогда угол тупой. Для меньшего угла между прямыми берут модуль скалярного произведения направляющих векторов.

Расстояние между A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) равно $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Середина имеет координаты ((x₁+x₂)/2;(y₁+y₂)/2).

Уравнение y=kx+b описывает невертикальную прямую. Вертикальная прямая имеет вид x=c. Для ненулевых конечных угловых коэффициентов перпендикулярность даёт k₁k₂=−1; горизонтальная и вертикальная прямые разбираются отдельно.

Окружность с центром (a;b) и радиусом R задаётся $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$: это запись постоянного расстояния от центра.

Для прямой через две точки с $x_1\ne x_2$ вычислите $k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$, затем найдите b подстановкой координат одной точки в y=kx+b. Если x₁=x₂, прямая вертикальна.

Перенос на вектор (p;q): (x;y)→(x+p;y+q). Отражение относительно оси x: (x;y)→(x;−y), относительно оси y: (x;y)→(−x;y). Центральная симметрия относительно начала: (−x;−y).

Поворот на 90° против часовой стрелки вокруг начала: (x;y)→(−y;x). Перенос, отражение и поворот сохраняют расстояния и площади.

Гомотетия с центром в начале и коэффициентом k≠0 переводит точку в (kx;ky). Длины умножаются на |k|, площади на k². При k<0 образ лежит по другую сторону центра.