Прямые, плоскости, углы и расстояния

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая AB параллельна CD и пересекает BC. Прямые AB и CC₁ не пересекаются и не лежат в одной плоскости: они скрещиваются.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости. Прямая может лежать в плоскости, пересекать её в одной точке или быть параллельной ей без общих точек. Две различные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.

Если прямая вне плоскости параллельна прямой этой плоскости, она параллельна плоскости. Условие «вне плоскости» нельзя опускать.

Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна каждой прямой плоскости через точку пересечения. Для проверки достаточно двух пересекающихся прямых этой плоскости.

Пусть H — основание перпендикуляра из P на плоскость, A лежит в плоскости. Тогда PA — наклонная, HA — её ортогональная проекция, треугольник PHA прямоугольный в H. Поэтому PA²=PH²+HA².

Расстояние от точки до плоскости равно PH, а не PA. Из наклонных с общим началом длиннее та, у которой длиннее проекция.

Угол между наклонной PA и плоскостью — угол между PA и её проекцией HA. В прямоугольном треугольнике $\sin\alpha=PH/PA$, $\operatorname{tg}\alpha=PH/HA$ при HA≠0.

Если PH=3, HA=4, PA=5, то sinα=3/5. Угол с нормалью к плоскости дополняет α до 90°. Для перпендикулярной прямой угол с плоскостью 90°, для параллельной 0°.

Угол между скрещивающимися прямыми находят через параллельные им пересекающиеся прямые. По определению угол между прямыми лежит от 0° до 90°.

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранные углы. Чтобы получить линейный угол выбранного двугранного угла, в каждой грани через одну точку ребра проводят луч, перпендикулярный ребру. Угол этих лучей и измеряют.

Если спрашивается меньший угол между плоскостями, выбирают значение от 0° до 90°. Сам двугранный угол может быть тупым — читайте условие.

В правильной пирамиде угол боковой грани с основанием удобно искать в сечении через вершину, центр основания и середину его стороны. Апофема грани и отрезок от центра к середине стороны оба перпендикулярны этой стороне.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра к прямой. Между параллельными плоскостями оно равно длине перпендикуляра из любой точки одной к другой.

Между скрещивающимися прямыми кратчайший отрезок перпендикулярен обеим; он называется общим перпендикуляром. В кубе расстояние между AB и CC₁ равно ребру BC: B лежит на AB, C на CC₁, а BC перпендикулярно обеим.

Сначала докажите, что выбранный отрезок перпендикулярен нужным объектам, и лишь затем вычисляйте длину. Удобный вид на чертеже сам по себе не доказательство.