Векторы в пространстве

Для A(x₁;y₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂) вектор от A к B имеет координаты (x₂−x₁;y₂−y₁;z₂−z₁). Вектор BA противоположен: все три знака меняются.

Длину находят по пространственной теореме Пифагора:

У a=(3;0;4) длина 5. На рисунке третья ось показана наклонно для объёма; угол на экране не равен пространственному углу. Середина отрезка получается средним арифметическим соответствующих координат.

Для a=(1;2;−1), b=(3;−1;4) сумма a+b=(4;1;3). Число умножает каждую координату: 2a=(2;4;−2).

Два ненулевых вектора коллинеарны, если один равен числу, умноженному на другой: b=λa. Например, (2;−4;6)=2(1;−2;3). При λ>0 направления совпадают, при λ<0 противоположны. Вместо деления на координаты, которые могут быть нулевыми, проверяйте три равенства bᵢ=λaᵢ.

Коллинеарность направляющих векторов двух прямых означает, что прямые параллельны или совпадают. Чтобы различить эти случаи, нужна ещё точка.

Скалярное произведение — число, полученное сложением произведений соответствующих координат:

Для ненулевых векторов $\cos\varphi=(\vec a\cdot\vec b)/(|\vec a||\vec b|)$, где 0≤φ≤π. Для ненулевых векторов перпендикулярность равносильна a·b=0. Нулевой вектор имеет нулевое произведение с любым, но угол с ним не определён.

Угол между прямыми принимают не больше 90°: в формуле для их направляющих векторов берут модуль скалярного произведения. В пространстве перпендикулярные направления ещё не означают, что прямые пересекаются: они могут быть скрещивающимися.

В уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор n=(A;B;C) перпендикулярен плоскости; A, B, C не могут быть нулевыми одновременно. Проверить принадлежность точки можно подстановкой её координат.

Расстояние от P(x₀;y₀;z₀) до плоскости:

Модуль делает расстояние неотрицательным. Угол α между прямой с направляющим a и плоскостью удовлетворяет $\sin\alpha=|\vec a\cdot\vec n|/(|\vec a||\vec n|)$: это синус, потому что нормаль перпендикулярна плоскости.

Перенос на вектор (p;q;r) переводит (x;y;z) в (x+p;y+q;z+r). Отражение относительно плоскости Oxy меняет только z: (x;y;−z). Центральная симметрия относительно начала меняет все знаки: (−x;−y;−z).

При гомотетии с центром в начале и коэффициентом k точка переходит в (kx;ky;kz); расстояния умножаются на |k|. При k=−1 это центральная симметрия.

Сфера с центром (a;b;c) и радиусом R>0 задаётся уравнением $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$. Для шара вместо равенства стоит ≤. Знаки координат центра нужно читать по скобкам, а радиус — извлекать из квадрата.