Математическое моделирование текстовых задач

Такси стоит 600 ₸ за подачу и 150 ₸ за километр. За поездку заплатили 1800 ₸. Если x — километры, получаем 600+150x=1800 и x=8.

Перед уравнением подпишите смысл переменной и единицу: «x км», а не просто x. Условие x≥0 необходимо, потому что длина не бывает отрицательной. После решения подставьте число в исходный рассказ: 600+150·8=1800.

Общая схема: выбрать величины → записать зависимости → решить → проверить единицы и ограничения. Уравнение отражает предположения модели, а не все свойства реальной ситуации.

Если скорость постоянна, s=vt. Для пути 180 км при скорости x км/ч время равно 180/x часов, x>0. При встречном движении скорости сближения складываются; при движении в одном направлении из большей вычитают меньшую.

Для движения по реке собственная скорость лодки v, скорость течения u. По течению v+u, против v−u; нужно v>u≥0. Времена на разных участках складываются, даже если длины одинаковы.

Средняя скорость всего пути — общий путь / общее время. Для одинаковых расстояний нельзя просто усреднить две скорости арифметически.

Если один насос наполняет резервуар за 3 часа, его производительность 1/3 резервуара в час. Второй за 6 часов — 1/6. Вместе за час выполняют 1/2 работы, поэтому весь резервуар заполнят за 2 часа.

При последовательной работе учитывайте длительность каждого этапа: время × производительность = доля выполненного. Для слива производительность вычитают, если задача задаёт постоянные скорости потоков. Если суммарная производительность отрицательна, количество воды уменьшается, пока в баке есть вода; при нулевой производительности уровень не меняется. В обоих случаях пустой бак не наполнится.

В 200 г 15%-го раствора содержится 0,15·200=30 г вещества. После добавления 100 г чистой воды вещества по-прежнему 30 г, масса смеси 300 г. Концентрация стала 30/300=10%.

При смешивании растворов складываются массы раствора и массы вещества. Проценты переводим в доли: 20%=0,2. Не усредняйте проценты без учёта масс.

Последовательные процентные изменения умножаются: рост на 20%, затем снижение на 20% даёт 1,2·0,8=0,96 исходного значения, то есть уменьшение на 4%.

У прямоугольника периметр 20 см. Если одна сторона x, другая 10−x, причём 0<x<10. Площадь S=x(10−x)=25−(x−5)², поэтому максимальна при x=5 и равна 25 см².

В задачах о людях и предметах переменная часто целая. Если расчёт дал 4,2 автобуса, для перевозки всех людей понадобится 5; но округлять любой корень автоматически нельзя — действие определяется вопросом.

После возведения в квадрат, сокращения или решения квадратного уравнения проверяйте все кандидаты в исходных величинах. Отрицательное время или концентрация больше 100% для обычной смеси недопустимы.