Системы уравнений: найти пары, подходящие всем условиям

Условия «сумма равна $5$» и «второе число на $1$ больше первого» задают уравнения $x+y=5$ и $y-x=1$. Ищем пару чисел, подходящую обоим.

Фигурная скобка означает оба условия одновременно. Подставим $y=x+1$ из второго в первое: $x+x+1=5$, значит, $x=2$, $y=3$.

Ответ: $(2;3)$. Первое число — значение $x$, второе — $y$. Переставлять их нельзя: $(3;2)$ уже нарушает второе уравнение.

Проверка: $2+3=5$ и $3-2=1$.

Каждое уравнение задаёт множество точек на плоскости. Для нашей системы $x+y=5$ даёт прямую $y=5-x$, а $y-x=1$ — прямую $y=x+1$. Решениям системы соответствуют общие точки этих графиков.

Прямые пересекаются в точке $(2;3)$. Рисунок помогает понять число решений, но точные координаты подтверждаем подстановкой: $2+3=5$ и $3-2=1$.

В системе $y=3x-2$, $x+y=10$ первое уравнение уже сообщает, чем заменить $y$. Подставим всё выражение во второе:

Теперь вернёмся к первому: $y=3\cdot3-2=7$. Пара $(3;7)$ подходит обоим условиям.

Как выбрать переменную

Удобно выражать переменную с коэффициентом $1$ или $-1$, чтобы не создавать лишние дроби. Сохраняйте полученное равенство для обратной подстановки. Если у одного $x$ несколько допустимых $y$, запишите каждую пару отдельно.

В системе

коэффициенты при $y$ противоположны. Складываем левые и правые части: $5x=15$, поэтому $x=3$. Подстановка в первое даёт $6+3y=12$, $y=2$.

Если коэффициенты пока не противоположны

Можно умножить всё уравнение, включая правую часть, на ненулевое число. Затем сложить или вычесть уравнения. Новое уравнение используем вместе с одним исходным: одна сумма сама по себе обычно описывает больше пар, чем система.

Например, для $2x+y=7$ и $x-y=2$ сложение сразу даёт $3x=9$, но ответом будет $(3;1)$, а не только $x=3$.

Из системы $x+y=2$, $2x+2y=5$ вычтем удвоенное первое уравнение из второго. Получится $0=1$ — противоречие. Решений нет. Геометрически это разные параллельные прямые.

Если второе уравнение заменить на $2x+2y=4$, получится $0=0$: оно повторяет первое и не добавляет ограничения. Подходит любая пара с $x+y=2$:

Здесь $t$ — произвольное действительное число, а $\mathbb R$ — множество действительных чисел. Пары $(0;2)$ и $(5;-3)$ подходят, но $(0;0)$ нет. Верное равенство $0=0$ не означает, что подходят любые x и y независимо: оставшееся уравнение нужно сохранить.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $ax+by=c$, где $a,b,c$ — числа, причём $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Члены $x^2$, $xy$, $1/x$ делают уравнение нелинейным.

В системе $y=x^2$, $y=x+2$ приравниваем два выражения для $y$:

Для $x=2$ получаем $y=4$, для $x=-1$ — $y=1$. Ответ: $(2;4)$ и $(-1;1)$. Не смешивайте координаты разных решений: $(2;1)$ не подходит.

Как связаны сумма и сумма квадратов

Раскрытие квадрата суммы даёт $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$. Если известны $x+y$ и $x^2+y^2$, отсюда можно найти $xy$, а затем решить систему по сумме и произведению.

Сумма и произведение

Если $x+y=7$, $xy=10$, то $y=7-x$ и $x(7-x)=10$. Получается $x^2-7x+10=0$, откуда $x=2$ или $5$. Соответствующие пары — $(2;5)$ и $(5;2)$.

Здесь видна связь с теоремой Виета: числа $x$ и $y$ являются корнями $t^2-7t+10=0$. Эта система симметрична: при перестановке $x$ и $y$ условия не меняются. Поэтому вместе с $(2;5)$ решением является и $(5;2)$; это разные упорядоченные пары.

Решим систему $x(x-y)=0$, $x+y=4$. Первое условие означает $x=0$ или $x=y$.

• При $x=0$ второе уравнение даёт $y=4$: пара $(0;4)$.
• При $x=y$ имеем $2x=4$: пара $(2;2)$.

Деление первого уравнения на $x$ без проверки потеряло бы $(0;4)$. В каждой ветви нужно сохранять все остальные уравнения системы. После объединения удаляем только повторяющиеся пары.

В системе $1/x+1/y=3/4$, $1/x-1/y=1/4$ исходное ОДЗ — $x\ne0$, $y\ne0$. Обозначим $u=1/x$, $v=1/y$:

Сложение даёт $u=1/2$, затем $v=1/4$. Возвращаемся: $x=2$, $y=4$. Нельзя ответить парой $(u;v)$ вместо $(x;y)$. Если новая система даёт $u=0$ или $v=0$, такая пара не возвращается к конечным действительным $x,y$.

Из условия в уравнения

Сначала определите, что означает каждая переменная и в каких единицах она измеряется. Для цены тетради $x$ и ручки $y$ стоимость двух тетрадей и трёх ручек — $2x+3y$. Каждое независимое условие даёт своё уравнение. После решения проверьте не только равенства, но и смысл ответа: цена положительна, число предметов — целое неотрицательное.