Дробно-рациональные уравнения: сначала ОДЗ, затем корни

В дроби $1/(x^2-4)$ знаменатель равен $(x-2)(x+2)$. Он обращается в ноль при $x=2$ или $x=-2$. Эти два числа нельзя подставлять: область допустимых значений, или ОДЗ, — все действительные $x$, кроме $-2$ и $2$.

Что такое дробно-рациональное уравнение

Это рациональное уравнение, в котором неизвестное входит в знаменатель хотя бы одной дроби. Например, $6/(x-1)=3$ при $x\ne1$: после умножения на $x-1$ получаем $6=3(x-1)$, откуда $x=3$. Подстановка даёт $6/2=3$. Числители и знаменатели здесь — многочлены. В $x/3=2$ знаменатель постоянный: неизвестное делится только на ненулевое число.

Чтобы найти ОДЗ, выпишите условие «не равно нулю» для каждого исходного знаменателя. Для $1/x+2/(x-3)=1$ нужны сразу $x\ne0$ и $x\ne3$.

Знаменатель может быть отрицательным: запрещён именно ноль. Например, $1/(x-2)$ определено при $x=0$, потому что знаменатель равен $-2$.

При ненулевом знаменателе дробь равна нулю ровно тогда, когда её числитель равен нулю:

Здесь $P(x)$ и $Q(x)$ обозначают многочлены от $x$. Условия действуют одновременно.

Например, $\frac{x^2-4}{x+2}=0$. Числитель обращается в ноль при $x=2$ и $x=-2$, но знаменатель запрещает $-2$. Остаётся только $x=2$.

Сокращение не отменяет ОДЗ

Дробь $\frac{x^2-4}{x-2}$ можно записать как $x+2$ только при $x\ne2$. Сокращённая запись определена в большем числе точек, чем исходная: ограничение нужно сохранить отдельно.

$0/0$ — не ноль и не единица. Это неопределённая запись; значение, которое её создаёт, корнем исходного уравнения не бывает.

Решим $\frac1x+\frac12=1$. Сначала $x\ne0$. Умножим каждое слагаемое на выражение $2x$, которое на ОДЗ не равно нулю:

Число $2$ допустимо, проверка $1/2+1/2=1$ верна. Умножение на ненулевое выражение обратимо, поэтому на исходной ОДЗ оно сохраняет решения.

Как выбрать знаменатель

1. Разложите знаменатели на множители.
2. Возьмите каждый необходимый множитель в наибольшей встречающейся степени.
3. Умножьте обе части целиком, не пропуская отдельные слагаемые.

Для $x-1$ и $x+1$ подойдёт $(x-1)(x+1)$. Для $x$ и $x^2$ достаточно $x^2$. Для $2(x-1)$ и $3(x-1)^2$ удобно взять $6(x-1)^2$.

Если знаки противоположны

$2-x=-(x-2)$. Поэтому $1/(2-x)=-1/(x-2)$ при $x\ne2$. Сначала вынесите минус, иначе при приведении к общему знаменателю можно потерять знак.

В уравнении $\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$ сначала нужны $B(x)\ne0$, $D(x)\ne0$. Умножение обеих частей на $B(x)D(x)$ даёт

Например, $\frac2{x-1}=\frac3{x+2}$ при $x\ne1$, $x\ne-2$ превращается в $2(x+2)=3(x-1)$, откуда $x=7$.

Это не правило для отдельных слагаемых

Если слева стоит сумма двух дробей, нельзя перемножить только «крайние» числители и знаменатели. Либо сначала объедините сумму в одну дробь, либо умножьте каждое слагаемое на общий знаменатель.

Этот переход называют основным свойством пропорции. Условие $B(x)D(x)\ne0$ необходимо: без него полученное равенство может допускать числа, запрещённые исходными дробями.

После избавления от знаменателей может получиться линейное или квадратное уравнение. Решите его, но сохраните ОДЗ рядом: полученные числа ещё должны пройти отбор.

Проверка кандидатов

• Ни один исходный знаменатель не равен нулю.
• Подстановка в исходное уравнение даёт верное равенство.

Если преобразования были равносильными на ОДЗ, отбор по ОДЗ уже исключает запрещённые корни. Подстановка дополнительно помогает заметить вычислительную ошибку.

Что называют посторонним корнем

Если после умножения на знаменатель решать полученное уравнение без исходных ограничений, среди его корней могут оказаться запрещённые числа. Корень полученного уравнения, который не решает исходное, называют посторонним. Если помнить об ОДЗ, переход равносилен, а запрещённые кандидаты отсеиваются при отборе.

Например, при решении $\frac{x^2}{x-2}=\frac4{x-2}$ сначала запишем $x\ne2$. После умножения на $x-2$ получаем $x^2=4$. Из двух кандидатов $-2$ и $2$ второе число — посторонний корень. Остаётся $-2$: обе исходные части равны $4/(-4)=-1$.

Если переменная исчезла

Из $\frac{x-2}{x-2}=1$ при $x\ne2$ получается $1=1$. Ответ — все действительные числа, кроме $2$, а не вообще все числа.

Из $\frac{x-2}{x-2}=0$ при том же ограничении получается $1=0$, поэтому решений нет. Исчезновение переменной само по себе не определяет ответ: нужно посмотреть, верно ли итоговое равенство.

Время движения равно расстоянию, делённому на скорость: $t=s/v$. Если расстояние $120$ км, скорость $v$ км/ч, то время $120/v$ часов. Здесь $v>0$ — ограничение физического смысла, более строгое, чем просто $v\ne0$.

Разность времён

При увеличении скорости на $10$ км/ч время на том же пути равно $120/(v+10)$. Если экономия составляет час, уравнение:

Время при меньшей скорости больше, поэтому вычитаем именно в таком порядке.

Совместная работа

Если исполнитель выполняет весь объём за $t$ часов, его производительность — $1/t$ работы в час. При постоянной производительности независимых исполнителей скорости работы складываются. Например, $1/x+1/6=1/4$ означает, что вместе они выполняют работу за $4$ часа, а второй один — за $6$.

Это модель: предполагаем одинаковый объём работы, постоянную производительность и отсутствие помех друг другу. После решения выбираем положительное время и проверяем исходную ситуацию.