Линейные уравнения: сохранить равенство и найти неизвестное

В задаче о блокнотах $x$ — неизвестная цена одного блокнота. Три блокнота стоят $3x$, а вместе с ручкой — $3x+200$. Поэтому условие записывается $3x+200=1400$. Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого нужно найти.

Что значит «решить»

Корень уравнения, или решение, — число, при подстановке которого получается верное числовое равенство. Здесь $400$ — корень: $3\cdot400+200=1400$. Число $300$ не подходит: слева получилось бы $1100$.

Решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет. Левая и правая части — выражения слева и справа от знака равенства. Буква $x$ обозначает одно и то же число во всех местах записи.

Если две величины равны, к обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число. Можно использовать и одно и то же выражение с переменной, определённое при всех рассматриваемых значениях: например, вычесть $2x$. Для умножения и деления число должно быть ненулевым. Эти действия можно отменить обратными, поэтому корни не теряются и не добавляются.

Равносильные уравнения

Уравнения с одним и тем же множеством решений называют равносильными. Например, $x+7=12$ и $x=5$ равносильны: у обоих единственный корень $5$.

Действия на схеме обратимы: к обеим частям можно сначала вернуться умножением на $3$, затем прибавлением $200$. Поэтому все три строки имеют один и тот же корень.

Почему «перенос» меняет знак

Из $5x+7=2x+19$ вычитаем $2x$ и $7$ из обеих частей:

Слова «перенести в другую часть с противоположным знаком» — сокращённое описание этих действий. Знак не меняется сам по себе. Собираем подобные: $3x=12$, затем делим на $3$ и получаем $x=4$.

На ноль делить нельзя. Умножение уравнения на ноль тоже не сохраняет его решения: из $x=5$ получится $0=0$, которому подходит любое число.

После раскрытия скобок и объединения слагаемых многие уравнения приводятся к виду $ax=b$, где $a$ и $b$ — известные числа, $x$ — неизвестное. Такой вид называют линейным уравнением с одной переменной; случай $a=0$ разбирают отдельно.

Коэффициент не равен нулю

Если $a\ne0$, единственный корень $x=b/a$. Например, $-4x=10$ даёт $x=-5/2$. Корень не обязан быть целым или положительным.

Переменная исчезла

• $0x=0$: равенство верно при любом действительном $x$ — бесконечно много решений.
• $0x=7$: левая часть всегда ноль, правая — нет; решений нет.

Например, $2(x+3)=2x+6$ после раскрытия даёт $0x=0$. А $2(x+3)=2x+7$ — $0x=1$. Нельзя в обоих случаях автоматически отвечать $x=0$.

Не всякое уравнение с буквой линейное

$x^2-3x=0$ — квадратное. У $1/x=2$ переменная в знаменателе: это дробно-рациональное уравнение с запретом $x=0$. Их методы изучаются дальше.

В уравнении $2(x-3)+x=9$ сначала раскрываем скобки: $2x-6+x=9$. Затем собираем подобные: $3x-6=9$. Получаем $3x=15$, $x=5$.

Минус перед скобками

$-(x-4)=-x+4$: минус действует на каждое слагаемое. Например, $7-(2x-1)=8-2x$.

Как убрать дроби

Если знаменатели — ненулевые числа, умножьте каждое слагаемое обеих частей на общий знаменатель. Для $\frac x3+\frac12=2$ подойдёт $6$:

Правая часть $2$ тоже умножается на $6$. Такой переход равносилен, поскольку умножаем на ненулевое число.

Десятичные коэффициенты

В $0{,}3x+0{,}7=1{,}9$ можно умножить обе части на $10$: $3x+7=19$, откуда $x=4$. Если есть сотые, удобно умножить на $100$. Это вычислительное удобство, а не обязательное правило.

Если за аренду велосипеда берут $600$ ₸ за выдачу и $400$ ₸ за каждый час, стоимость $t$ часов равна $600+400t$. При счёте $2200$ ₸ уравнение $600+400t=2200$ даёт $t=4$ часа.

План текстовой задачи

1. Укажите, что обозначает переменная и в каких единицах.
2. Выразите остальные величины через неё.
3. Запишите равенство из условия и решите его.
4. Проверьте исходное равенство и смысл ответа: время и длина не должны быть отрицательными.

Когда коэффициент тоже задан буквой

В $(m-2)x=6$ буква $m$ — параметр, то есть фиксированное, но пока не заданное число. Если $m\ne2$, можно разделить на $m-2$: $x=6/(m-2)$. Если $m=2$, получается $0x=6$ — решений нет.

Не делите на выражение с параметром, пока не разобрали случай, когда оно равно нулю. Здесь рассматриваем только такой простой разбор; сложные задачи с параметрами — отдельная тема.