Тригонометрия: от окружности к тождествам

Представьте луч из центра окружности радиуса $1$. Сначала он направлен вправо, затем поворачивается на угол $\alpha$ (греческая буква «альфа»). Точка $P$ на окружности имеет две координаты: горизонтальную $x$ и вертикальную $y$. Косинус угла — это $x$, синус — это $y$.

Положительный поворот идёт против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Окружность радиуса $1$ с центром в начале координат называют единичной, или тригонометрическим кругом. Координаты $x$ и $y$ здесь не обозначают угол: угол обозначен $\alpha$. Каждому углу соответствует ровно одно значение синуса и одно значение косинуса: поэтому их называют функциями угла.

Связь с прямоугольным треугольником

Для острого угла опустим из $P$ перпендикуляр на горизонтальную ось. Гипотенуза — радиус $1$, горизонтальный катет прилежит к углу, вертикальный лежит напротив него. В любом подобном прямоугольном треугольнике:

Например, если гипотенуза $5$, а противолежащий катет $3$, то $\sin\alpha=3/5$. Второй катет $\sqrt{25-9}=4$, поэтому $\cos\alpha=4/5$. Определение через окружность работает и для углов, которые не бывают острыми углами треугольника.

Полный оборот — $360^\circ$. Радиан — угол, которому соответствует дуга длиной в один радиус. Длина всей окружности равна $2\pi r$, поэтому полный оборот — $2\pi$ радиан, а половина — $\pi$ радиан.

Перевод в обе стороны

• Из градусов в радианы: умножить число градусов на $\pi/180$.
• Из радиан в градусы: умножить число радиан на $180/\pi$.

Например, $120^\circ=120\pi/180=2\pi/3$ радиан. А $\pi/4$ радиан — это $45^\circ$.

В записи $\sin(\pi/6)$ угол задан в радианах; в $\sin30^\circ$ — в градусах. Если у действительного числового аргумента нет значка градуса, используем радианы: $\sin1$ и $\sin1^\circ$ — разные числа.

Для $30^\circ$ и $60^\circ$ значения можно получить, разделив равносторонний треугольник высотой пополам. Если сторона равна $1$, половина основания равна $1/2$, а высота по Пифагору — $\sqrt{1-1/4}=\sqrt3/2$. Угол при основании $60^\circ$, у вершины после деления — $30^\circ$. Для $45^\circ$ берём прямоугольный треугольник с равными катетами: при гипотенузе $1$ каждый катет равен $1/\sqrt2=\sqrt2/2$.

Пять опорных углов

• $0^\circ$ ($0$ рад): $\sin=0$, $\cos=1$.
• $30^\circ=\pi/6$: $\sin=1/2$, $\cos=\sqrt3/2$.
• $45^\circ=\pi/4$: $\sin=\sqrt2/2$, $\cos=\sqrt2/2$.
• $60^\circ=\pi/3$: $\sin=\sqrt3/2$, $\cos=1/2$.
• $90^\circ=\pi/2$: $\sin=1$, $\cos=0$.

Здесь после $\sin$ и $\cos$ подразумевается угол в начале строки. Значения с корнями — точные, их не нужно округлять.

Знаки — это знаки координат

Оси делят круг на четыре четверти. Внутри каждой знаки постоянны:

• I, от $0^\circ$ до $90^\circ$: $\cos>0$, $\sin>0$.
• II, от $90^\circ$ до $180^\circ$: $\cos<0$, $\sin>0$.
• III, от $180^\circ$ до $270^\circ$: $\cos<0$, $\sin<0$.
• IV, от $270^\circ$ до $360^\circ$: $\cos>0$, $\sin<0$.

Граничные углы лежат на осях: например, при $180^\circ$ точка $(-1;0)$, при $270^\circ$ — $(0;-1)$. На осях одна из координат равна нулю.

Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — обратное отношение. В русской школьной записи используем $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$:

Например, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, а $\operatorname{ctg}60^\circ=1/\sqrt3=\sqrt3/3$. Тангенс не определён при $90^\circ$ и $270^\circ$, котангенс — при $0^\circ$ и $180^\circ$. Запрет повторяется после каждого поворота на $180^\circ$.

Период и область определения

Период — положительное число, при прибавлении которого к любому допустимому аргументу получается допустимый аргумент с тем же значением функции. Одного совпадения недостаточно: $\sin0=\sin\pi=0$, но $\sin(\pi/2)=1$, а $\sin(\pi/2+\pi)=-1$, поэтому $\pi$ не является периодом синуса. Наименьший положительный период $\sin$ и $\cos$ — $2\pi$ ($360^\circ$), а $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ — $\pi$ ($180^\circ$).

Синус и косинус определены при любом действительном угле и принимают значения от $-1$ до $1$. Тангенс и котангенс принимают любые действительные значения, но имеют запреты в аргументе. В радианах, где $k$ — любое целое число:

• для $\operatorname{tg}\alpha$: $\alpha\ne\pi/2+\pi k$;
• для $\operatorname{ctg}\alpha$: $\alpha\ne\pi k$.

Отрицательный угол

При отражении точки относительно горизонтальной оси $x$ не меняется, а $y$ меняет знак. Поэтому:

Косинус называют чётной функцией; синус — нечётной. Тангенс и котангенс тоже нечётные на своей области определения. Например, $\operatorname{tg}(-45^\circ)=-1$.

Координаты точки на единичной окружности удовлетворяют теореме Пифагора: $x^2+y^2=1$. Подставим $x=\cos\alpha$, $y=\sin\alpha$:

Запись $\sin^2\alpha$ означает $(\sin\alpha)^2$, а не $\sin(\alpha^2)$. Тождество — равенство, верное для всех допустимых значений аргумента.

Найти одну функцию через другую

Если $\sin\alpha=3/5$, то $\cos^2\alpha=1-9/25=16/25$. Значит, $\cos\alpha$ может равняться $4/5$ или $-4/5$. Чтобы выбрать знак, нужна четверть или другое условие. Без него одного ответа нет.

Тождества с тангенсом и котангенсом

Разделим основное тождество на $\cos^2\alpha$, если $\cos\alpha\ne0$:

А при $\sin\alpha\ne0$ деление на $\sin^2\alpha$ даёт:

Равенство $\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha=1$ требует обоих условий: $\sin\alpha\ne0$ и $\cos\alpha\ne0$.

Угол $150^\circ=180^\circ-30^\circ$ лежит во II четверти. По сравнению с $30^\circ$ вертикальная координата та же, горизонтальная меняет знак. Поэтому $\sin150^\circ=1/2$, $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$.

Полезные связи

Углы, дополняющие друг друга до $90^\circ$, меняют роли катетов:

Для $\pi/2+\alpha$ получаем $\sin(\pi/2+\alpha)=\cos\alpha$ и $\cos(\pi/2+\alpha)=-\sin\alpha$. Эти равенства верны для любых действительных $\alpha$.

Как не потерять знак

Для числового угла сначала уберите целые обороты, затем найдите четверть и острый опорный угол. Модуль значения берите из опорных углов, знак — из четверти. Тангенс и котангенс можно получить как отношения синуса и косинуса, если знаменатель не ноль.

Чтобы найти $\sin75^\circ$, опорной таблицы недостаточно, но $75^\circ=45^\circ+30^\circ$. Связь с двумя знакомыми углами дают формулы сложения. Здесь $\alpha$ и $\beta$ — углы в одинаковых единицах:

В синусе знак сохраняется, в косинусе меняется. Синус суммы не равен сумме синусов: например, $\sin(30^\circ+30^\circ)=\sqrt3/2$, а $1/2+1/2=1$.

Двойной угол — сложение с самим собой

При $\beta=\alpha$ получаем:

С помощью основного тождества последнюю формулу можно переписать как $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ или $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$. Выбирайте форму с известной функцией.

Тангенс суммы

Запишем $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$, подставим формулы сложения и разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha\cos\beta$. Получаем:

Формула в этой записи требует определённости обоих тангенсов и ненулевого знаменателя. Для разности в числителе минус, в знаменателе плюс. Нельзя применять её при $\alpha=90^\circ$, даже если тангенс итогового угла существует.

В выражении $\sin70^\circ+\sin10^\circ$ отдельные значения неудобны, но полусумма углов равна $40^\circ$, а полуразность — $30^\circ$. Начнём с одной связи: складывая формулы $\sin(u+v)$ и $\sin(u-v)$, получаем

Здесь $u$ и $v$ — углы. Возьмём $u=(\alpha+\beta)/2$, $v=(\alpha-\beta)/2$: тогда $u+v=\alpha$, $u-v=\beta$. Так получаем первую из четырёх формул:

Остальные три формулы получают похожим сложением или вычитанием формул сложения углов. В разности косинусов особенно важно сохранить минус перед $2$.

Например, $\sin70^\circ+\sin10^\circ=2\sin40^\circ\cos30^\circ=\sqrt3\sin40^\circ$. Это точное преобразование, даже если результат не стал обычным числом.

Формулы работают и обратно

Например, $2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)$. Так произведение превращается в сумму. Из формул двойного угла также получаем понижение степени:

«Понизить степень» — заменить квадрат функции выражением с первой степенью функции другого угла. При извлечении корня не забывайте модуль: $\sqrt{\sin^2\alpha}=|\sin\alpha|$.