Показательные уравнения: найти неизвестный показатель

В модели $3\cdot2^n=48$ сначала разделим на $3$: $2^n=16$. Поскольку $16=2^4$, получаем $n=4$. При целочисленном $n$ это четыре удвоения: $3\to6\to12\to24\to48$.

Показательное уравнение содержит неизвестное в показателе степени. Сравните: $2^x=16$ — показательное, а $x^2=16$ — квадратное. Перестановка основания и показателя меняет задачу.

Условия на основание

Для произвольного действительного показателя здесь используем $a>0$, $a\ne1$. Тогда $a^x$ определено при любом действительном $x$ и всегда положительно. Поэтому $a^x=0$ и $a^x=-3$ решений не имеют.

Отрицательный показатель означает обратное число: $a^{-x}=1/a^x$. Нулевой показатель даёт $a^0=1$. Основание $1$ исключено из основного метода: $1^x=1$ при всех $x$, и по значению степени показатель уже не определить.

При $a>1$ функция $a^x$ строго возрастает: большему показателю соответствует большее значение. При $0<a<1$ она строго убывает. В обоих случаях одно значение получается только при одном показателе.

Поэтому при $a>0$, $a\ne1$:

Это верно там, где оба показателя определены. Если в показателе есть дробь или корень, ограничения на него сохраняются.

Сначала одинаковые основания

В $4^{x-1}=8$ перепишем $4=2^2$, $8=2^3$:

У основания меньше единицы правило равенства не меняется: $(1/3)^{x+1}=1/9=(1/3)^2$ даёт $x=1$. Смена направления знака относится к неравенствам, а здесь решается равенство.

В $2^{x+1}+2^x=24$ нельзя складывать показатели. По правилу $a^{u+v}=a^u a^v$ имеем $2^{x+1}=2\cdot2^x$:

Следовательно, $2^x=8$ и $x=3$.

Что можно складывать

$2^x+2^x=2\cdot2^x$, а $2^x\cdot2^x=2^{2x}$. Сложение и умножение — разные операции.

Делить обе части уравнения на $a^x$ безопасно: оно никогда не равно нулю. Но выражение $a^x-1$ может обращаться в ноль — его нельзя сокращать без отдельного разбора.

В $4^x-5\cdot2^x+4=0$ замечаем $4^x=(2^x)^2$. Введём $t=2^x$. Тогда $t>0$, и уравнение становится квадратным:

Из $t=1$ получаем $2^x=1$, $x=0$. Из $t=4$ — $2^x=4$, $x=2$. Оба значения допустимы.

Ограничение и обратный переход

Сначала оставьте только положительные $t$, затем решите каждое $a^x=t$. Нулевой и отрицательный корни квадратного уравнения не подходят. Ответ должен содержать $x$, а не только $t$.

Обратные степени

В $2^x+2^{-x}=5/2$ та же замена даёт $t+1/t=5/2$. Можно умножить на $2t$, поскольку $t>0$:

$t=2$ или $t=1/2$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Отрицательный показатель допустим; отрицательное значение степени — нет.

Для $2^x=7$ целый показатель не подходит. Логарифм $\log_a b$ — показатель, в который нужно возвести $a$, чтобы получить $b$.

При $a>0$, $a\ne1$, $b>0$ уравнение $a^x=b$ имеет единственное решение:

Так, точный ответ для $2^x=7$ — $\log_2 7$. Поскольку $2^2<7<2^3$, он лежит между $2$ и $3$. Десятичное округление без требования не нужно.

Если основания разные

В $3^x=5^{x-1}$ перепишем правую часть как $5^x/5$. Умножим на $5$ и разделим на положительное $3^x$:

По определению логарифма $x=\log_{5/3}5$. При желании можно перейти к натуральным логарифмам: $\ln$ — логарифм по основанию $e$, а формула смены основания даёт

Это два способа записать одно число. Приравнять $x$ и $x-1$ в исходном уравнении нельзя: основания различны.

Логарифм суммы не равен сумме логарифмов. В выражениях вроде $2^x+2^{x+1}$ сначала используйте общий множитель, а не разделяйте сумму логарифмом.

Подставьте ответ в исходное уравнение и проверьте показатель целиком, включая скобки. Например, при $x=2$ выражение $3^{2x-1}$ равно $3^3$, а не $3^2-1$.

Действительное время и целое число шагов

В модели $N=80\cdot2^n$, где $n$ — число одинаковых этапов удвоения, достижение $640$ означает $2^n=8$, $n=3$. Если $n$ считает этапы, ответ должен быть неотрицательным целым.

Для модели непрерывного изменения время может быть действительным. Ограничения задаёт условие, а не название уравнения. Не переносите правило «только положительный x» на обычное уравнение: $2^x=1/4$ имеет корень $-2$.