Тригонометрические уравнения: найти все углы, а не один

На единичной окружности $\sin x$ — вертикальная координата точки поворота, $\cos x$ — горизонтальная. Уравнение $\sin x=1/2$ спрашивает, у каких точек высота равна $1/2$. За оборот их две: углы $\pi/6$ и $5\pi/6$.

Зачем добавлять период

Полный оборот $2\pi$ радиан равен $360^\circ$; $\pi$ радиан — $180^\circ$. После любого целого числа оборотов точка та же, поэтому все решения:

$\mathbb Z$ — множество целых чисел: $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$. Каждая строка — серия решений. Отрицательные $k$ учитывают обороты в другую сторону. Если нужны градусы, аналогичная запись: $30^\circ+360^\circ k$ или $150^\circ+360^\circ k$. Не смешивайте градусы и радианы в одной сумме.

Сначала проверьте, может ли функция принимать заданное значение: синус и косинус лежат от $-1$ до $1$, а тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.

Синус

Для $\sin x=a$ при $|a|\le1$ обозначим $\alpha=\arcsin a$. Это единственный угол из $[-\pi/2;\pi/2]$, синус которого равен $a$. Тогда:

При $|a|>1$ корней нет. Две серии могут совпасть, если $a=1$ или $a=-1$.

Те же решения можно записать одной формулой $x=(-1)^k\alpha+\pi k$. При чётном $k=2n$ получается $\alpha+2\pi n$, при нечётном $k=2n+1$ — $\pi-\alpha+2\pi n$. Здесь $n$ — целое число. Выбирайте удобную запись; обе дают все углы.

Косинус

Для $\cos x=a$ при $|a|\le1$ пусть $\beta=\arccos a$ — угол из $[0;\pi]$ с косинусом $a$. Тогда:

Запись $\pm$ означает две серии. При $|a|>1$ решений нет; при $a=\pm1$ повторяющиеся серии объединяем.

Тангенс и котангенс

$\operatorname{tg}x=\sin x/\cos x$ определён при $\cos x\ne0$. Если $\gamma=\operatorname{arctg}a$ — угол из $(-\pi/2;\pi/2)$ с тангенсом $a$, то:

$\operatorname{ctg}x=\cos x/\sin x$ определён при $\sin x\ne0$. Выбирая $\delta=\operatorname{arcctg}a$ из $(0;\pi)$, получаем:

Здесь $k\in\mathbb Z$ во всех формулах. Период тангенса и котангенса — $\pi$, а не $2\pi$: после половины оборота оба числа в отношении меняют знак, отношение остаётся прежним.

Удобные частные случаи

• $\sin x=0$: $x=\pi k$; $\cos x=0$: $x=\pi/2+\pi k$.
• $\sin x=1$: $x=\pi/2+2\pi k$; $\sin x=-1$: $x=-\pi/2+2\pi k$.
• $\cos x=1$: $x=2\pi k$; $\cos x=-1$: $x=\pi+2\pi k$.

Для $-1\le a\le1$ полезно помнить: $\arcsin(-a)=-\arcsin a$, но $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$. Например, $\arccos(-1/2)=2\pi/3$, а не $-\pi/3$: выбранный угол косинуса лежит в $[0;\pi]$.

Арксинус и другие обратные функции дают один выбранный угол. Именно добавление серий и периода превращает его во все решения.

В $\sin(2x)=1/2$ роль угла играет весь аргумент $2x$. Сначала запишем решения для него, затем разделим всю правую часть на $2$:

Делим на $2$:

Период в ответе по $x$ тоже разделился на $2$. Для $\sin(2x-\pi/3)$ сначала находят значения $2x-\pi/3$, затем прибавляют $\pi/3$ и делят всю запись на $2$.

Как отобрать значения k

Для первой серии на $[0;\pi)$:

Вычитаем $\pi/12$: $-\pi/12\le\pi k<11\pi/12$. Делим на $\pi>0$: $-1/12\le k<11/12$, единственное целое $k=0$. Во второй серии $-5/12\le k<7/12$, снова $k=0$. Получаем $\pi/12$ и $5\pi/12$.

Квадратная скобка включает границу, круглая исключает. Отбирайте из каждой серии, затем уберите повторы. Если просят наименьший положительный корень, ноль не считается положительным.

В $2\sin^2x-\sin x=0$ вынесем общий множитель:

Следовательно, $\sin x=0$ или $\sin x=1/2$. Нужно сохранить решения обеих ветвей. Деление сразу на $\sin x$ потеряло бы первую.

Квадратное уравнение относительно синуса

Для $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ положим $t=\sin x$, причём $-1\le t\le1$. Получаем $(2t-1)(t-1)=0$: $t=1/2$ или $t=1$. Обе величины допустимы; каждое простейшее уравнение решаем отдельно.

Если получилось, например, $t=2$, это не допустимый синус. У замены $t=\cos x$ такое же ограничение, а у $t=\operatorname{tg}x$ ограничений на значение t нет, но исходный тангенс должен быть определён.

Свести к одной функции

Тождество $\cos2x=1-2\sin^2x$ позволяет переписать $\cos2x=\sin x$ как $2\sin^2x+\sin x-1=0$. При замене $t=\sin x$ получаем $t=1/2$ или $t=-1$.

Начнём с $\sin x=\sqrt3\cos x$. Если $\cos x=0$, то $\sin x=\pm1$, и равенства нет. Поэтому делим на косинус: $\operatorname{tg}x=\sqrt3$, откуда $x=\pi/3+\pi k$.

В $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$ у каждого слагаемого суммарная степень синуса и косинуса равна $2$. Это однородное уравнение второй степени.

Сначала проверить, не равен ли делитель нулю

При $\cos x=0$ имеем $\sin^2x=1$, поэтому левая часть равна $1$: такие углы не удовлетворяют уравнению. Значит, для оставшихся кандидатов можно делить на $\cos^2x$:

Отсюда $\operatorname{tg}x=1$ или $\operatorname{tg}x=2$. Ответ: $x=\pi/4+\pi k$ или $x=\operatorname{arctg}2+\pi k$.

Такая проверка обязательна до деления. В другом уравнении точки с $\cos x=0$ могут быть решениями, и тогда их нужно включить отдельно.

Для суммы $\sin x+\cos x$ подходит формула синуса суммы. Так как $\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=1/\sqrt2$,

Проверим раскрытием: $\sqrt2\sin(x+\pi/4)=\sqrt2(\sin x/\sqrt2+\cos x/\sqrt2)=\sin x+\cos x$.

Например, $\sin x+\cos x=\sqrt2$ превращается в $\sin(x+\pi/4)=1$, поэтому $x+\pi/4=\pi/2+2\pi k$, $x=\pi/4+2\pi k$.

Знаменатели не исчезают после упрощения

Для $\frac{\sin2x}{\sin x}=0$ исходная ОДЗ: $\sin x\ne0$, то есть $x\ne\pi k$. На ней $\sin2x=2\sin x\cos x$ позволяет сократить дробь до $2\cos x$.

Получаем $\cos x=0$, $x=\pi/2+\pi k$. Все эти углы допустимы: их синус равен $1$ или $-1$. Если вместо этого приравнять только числитель к нулю и забыть знаменатель, в ответ попадут запрещённые точки.