Логарифмы: найти неизвестный показатель

Равенство $2^3=8$ можно прочитать двумя способами. Степень говорит: «возвести $2$ в степень $3$ — получить $8$». Логарифм говорит: «чтобы из $2$ получить $8$, нужен показатель $3$». Поэтому $\log_2 8=3$.

Как читать запись

В $\log_a b$ число $a$ — основание, число $b$ — аргумент, а результат — показатель степени. Например, у $\log_5 125=3$ основание $5$, аргумент $125$, значение $3$.

Знак $\Longleftrightarrow$ означает «равносильно»: одна и та же связь записана двумя способами. Условия $a>0$, $a\ne1$, $b>0$ обязательны; ниже разберём почему.

Показатель не обязан быть натуральным

• $\log_2 1=0$, потому что $2^0=1$.
• $\log_2(1/8)=-3$, потому что $2^{-3}=1/8$.
• $\log_9 3=1/2$, потому что $9^{1/2}=3$.

Логарифм может быть нулём, отрицательным числом или дробью. Требование положительности относится к аргументу, а не к ответу.

Для действительного логарифма $\log_a b$ нужны три условия:

Почему? Степени положительного основания остаются положительными, поэтому не дают ноль и отрицательные числа. Основание $1$ не подходит: $1^t$ всегда равно $1$, и по результату невозможно однозначно восстановить показатель. Отрицательное основание не даёт действительную степень для всех действительных показателей, поэтому в определении действительного логарифма оно исключено.

Если внутри стоят выражения

В $\log_2(x-4)$ требуется $x-4>0$, то есть $x>4$. Это ОДЗ — область допустимых значений переменной.

В $\log_{x+1}9$ ограничения относятся к основанию: $x+1>0$ и $x+1\ne1$. Значит, $x>-1$, $x\ne0$.

Основание между нулём и единицей

Такое основание разрешено. Например, $\log_{1/2}8=-3$, потому что $(1/2)^{-3}=8$. Чем больше показатель степени при основании $1/2$, тем меньше результат; отрицательный показатель, наоборот, даёт число больше $1$.

Возведение в степень и логарифмирование с тем же основанием отменяют друг друга, если соблюдены условия:

Первую формулу называют основным логарифмическим тождеством. Здесь $t\in\mathbb R$ означает «$t$ — любое действительное число». Так, $5^{\log_5 7}=7$, а $\log_3(3^{-4})=-4$.

Две опорные величины

Из $a^0=1$ и $a^1=a$ следуют $\log_a1=0$ и $\log_a a=1$. Условия на основание остаются прежними.

Десятичный и натуральный логарифмы

$\lg b$ — сокращение для $\log_{10}b$, например, $\lg1000=3$. $\ln b$ — логарифм по основанию $e$, где $e\approx2{,}71828$. Для него действуют те же свойства: например, $\ln e=1$. В этой записи $\ln$ — название функции, а не произведение букв.

Пусть $u=\log_a x$ и $v=\log_a y$. Тогда $x=a^u$, $y=a^v$, а $xy=a^{u+v}$. По определению $\log_a(xy)=u+v$: логарифм произведения равен сумме показателей. Так свойства логарифмов следуют из свойств степеней.

Для всех формул ниже $a>0$, $a\ne1$, $x>0$, $y>0$:

Используйте в обе стороны

Например, $\log_2 3+\log_2 8=\log_2 24$, а $\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2$. Основания должны совпадать.

Коэффициент можно перенести в показатель: $2\log_3 5=\log_3 25$. И обратно: $\log_2\sqrt8=\tfrac12\log_2 8=3/2$.

Логарифм суммы так не раскрывается. $\log_2(4+4)=3$, но $\log_2 4+\log_2 4=4$. Свойство относится к произведению, не к сложению аргументов.

У выражения $\log_a(x^2)$ аргумент положителен при любом $x\ne0$. Но запись $2\log_a x$ существует лишь при $x>0$. Поэтому без условия $x>0$ заменять первую запись второй нельзя.

Правильная формула на всей исходной ОДЗ

Поскольку $x^2=|x|^2$, а $|x|>0$ при $x\ne0$, получаем:

Например, при $x=-3$ выражение $\log_3(x^2)=\log_3 9=2$ определено, а $2\log_3 x$ — нет.

Объединение тоже сохраняет исходные условия

В $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)$ нужно $x>1$. После объединения получаем $\log_2(x^2-1)$, но сохраняем $x>1$. Новая запись сама по себе существует ещё и при $x<-1$; исходная сумма там не определена.

Перед преобразованием выпишите условия на каждый исходный логарифм. Итоговая короткая запись не должна незаметно расширять или сужать исходную ОДЗ.

В $\log_4 8$ и основание, и аргумент — степени двойки. Можно искать показатель напрямую, а можно перейти к основанию $2$:

Условия: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $c>0$, $c\ne1$. Знаменатель ненулевой, потому что $a\ne1$.

Откуда берётся формула

Обозначим $t=\log_a b$, тогда $a^t=b$. Берём логарифм по основанию $c$: $t\log_c a=\log_c b$. Делим на $\log_c a$ и получаем формулу.

Например, $\log_4 8=\log_2 8/\log_2 4=3/2$. Аргумент идёт в числитель, старое основание — в знаменатель.

Полезное следствие

Если также $b\ne1$, то

Например, $\log_2 7\cdot \log_7 2=1$. Это не значит, что любые два логарифма можно «сократить»: основания и аргументы должны соответствовать формуле.