Иррациональные уравнения: убрать корень и проверить результат

Решим $\sqrt{x+5}=3$. Квадратный корень из числа — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Поэтому $x+5=3^2=9$, откуда $x=4$. Проверка: $\sqrt{4+5}=3$.

Что называется иррациональным уравнением

В таком уравнении неизвестное входит под знак корня, например $\sqrt{2x+1}=x$. Сам ответ может быть целым: название описывает вид уравнения, а не вид его корней.

ОДЗ — область допустимых значений: числа, при которых все исходные выражения определены. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. У $\sqrt{x-2}$ это $x\ge2$. Если корень стоит в знаменателе, нужен строгий запрет нуля: $1/\sqrt{x-2}$ определено только при $x>2$.

Если радикалов несколько, ограничения действуют одновременно. Для $\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x}$ получаем $1\le x\le7$.

Из верного равенства всегда следует равенство квадратов. Обратно это не всегда так: одинаковые квадраты бывают у противоположных чисел. Например, $3^2=(-3)^2$, хотя $3\ne-3$.

ОДЗ и знак правой части — разные проверки

У $\sqrt{x+5}=x-1$ ОДЗ даёт только $x\ge-5$. Но левая часть неотрицательна, значит, для решения ещё необходимо $x-1\ge0$, то есть $x\ge1$.

Если забыть второе условие, после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни — решения полученного уравнения, не подходящие исходному. Они могут принадлежать ОДЗ и всё равно не подходить из-за знака.

Равносильный переход

Для выражений $f(x)$ и $g(x)$ правило выглядит так:

Все выражения должны быть определены. В правой записи $f(x)\ge0$ уже следует из $f(x)=g(x)^2$, но исходное ОДЗ удобно выписывать заранее. Если у $g(x)$ есть знаменатели, их запреты также сохраняются.

Практический порядок: ОДЗ → изолировать корень → условие на знак другой части → квадрат → решение → проверка исходной подстановкой.

В $\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+7}$ обе части неотрицательны на ОДЗ. Поэтому при сохранении ОДЗ можно приравнять подкоренные выражения: $2x+3=x+7$, $x=4$. Подстановка даёт $\sqrt{11}=\sqrt{11}$.

Если между корнями плюс или минус

В $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5$ сначала оставьте один корень слева:

Теперь справа нужна неотрицательность. На ОДЗ $x\ge1$ дополнительно нужно $\sqrt{x-1}\le5$, затем $x-1\le25$, то есть $x\le26$. Квадрат правой части содержит средний член:

Нельзя заменять квадрат суммы или разности суммой квадратов. После первого возведения в квадрат может остаться ещё один корень: снова изолируйте его, проверьте знак и лишь затем возводите в квадрат.

Если уравнение содержит и $x$, и $\sqrt x$, попробуйте назвать корень новой буквой. Например, в $x-3\sqrt x+2=0$ положим $t=\sqrt x$. Тогда $t\ge0$, а $x=t^2$:

Получаем $t=1$ или $t=2$. Возвращаемся к исходной переменной: $x=1$ или $x=4$. Подстановки: $1-3+2=0$ и $4-6+2=0$.

Что нельзя забыть

Новая переменная — не независимое произвольное число. Если квадратное уравнение даёт отрицательное $t$, его нельзя использовать при $t=\sqrt x$. Найденное $t$ ещё не ответ на вопрос об $x$: нужен обратный переход.

Квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $\sqrt{x^2}=|x|$, а не просто $x$. Здесь $|x|$ — модуль числа: $x$ при $x\ge0$ и $-x$ при $x<0$.

Например, $\sqrt{(x-2)^2}=3$ означает $|x-2|=3$. Расстояние от $x$ до $2$ равно $3$, поэтому $x-2=3$ или $x-2=-3$: $x=5$ или $x=-1$.

Кубический корень

$\sqrt[3]{u}$ — число, куб которого равен $u$. Оно может быть отрицательным: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Для действительных чисел возведение в куб обратимо и не склеивает разные знаки.

Поэтому $\sqrt[3]{x-1}=-2$ равносильно $x-1=-8$, откуда $x=-7$. Условия $x-1\ge0$ здесь нет. Дополнительные знаменатели или другие корни, если они есть в задаче, всё равно требуют своего ОДЗ.