Логарифмические уравнения: сначала допустимость, затем преобразования

Запись $\log_3(x-2)=2$ означает: основание $3$ надо возвести во вторую степень, чтобы получить аргумент $x-2$. Значит, $x-2=9$ и $x=11$.

Три условия допустимости

Для $\log_a b$ нужны $a>0$, $a\ne1$ и $b>0$. ОДЗ — область допустимых значений: все числа, при которых исходная запись имеет смысл. В нашем примере основание уже допустимо, а аргумент требует $x>2$.

Общее правило при допустимом основании:

Число $a^c$ всегда положительно, поэтому найденное значение $f(x)$ автоматически положительно. Но если внутри $f(x)$ есть знаменатель или другой логарифм, их исходные ограничения также нужны. Не путайте положительность аргумента и знак результата: $\log_2(1/4)=-2$.

В $\log_2(3x-2)=\log_2(x+6)$ оба логарифма имеют одно допустимое основание. На ОДЗ логарифмическая функция принимает каждое значение только один раз, поэтому аргументы равны:

ОДЗ: $3x-2>0$ и $x+6>0$, вместе $x>2/3$. Число $4$ подходит: оба аргумента равны $10$.

Основание между нулём и единицей

Правило равенства остаётся тем же при $0<a<1$: функция убывает, но разным аргументам всё равно соответствуют разные значения. Никакого «переворота знака равенства» нет.

Уравнение $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ решаем как $f(x)=g(x)$ на исходном ОДЗ. При разных основаниях такое действие сразу недопустимо.

В $\log_5(x-2)+\log_5(x+2)=1$ исходное ОДЗ — $x>2$. На нём можно объединить сумму:

Значит, $x^2-4=5$, $x=3$ или $x=-3$. Только $3$ входит в ОДЗ. При $-3$ произведение положительно, но оба исходных аргумента отрицательны: новая запись существует, старая — нет.

Разность логарифмов

При $u>0$, $v>0$ верно $\log_a u-\log_a v=\log_a(u/v)$. Например, $\log_3(x+5)-\log_3(x-1)=1$ на $x>1$ превращается сначала в $\log_3((x+5)/(x-1))=1$, затем по определению в $(x+5)/(x-1)=3^1$, откуда $x=4$.

Коэффициент перед логарифмом

При $x>0$ можно записать $2\log_a x=\log_a(x^2)$. Это помогает объединять уравнения с разными коэффициентами. Но исходное условие $x>0$ остаётся: новая запись с квадратом сама по себе допускает ещё и отрицательные $x$.

Сумма логарифмов — логарифм произведения, а не суммы. Нельзя заменять $\log_a u+\log_a v$ на $\log_a(u+v)$.

В $(\log_2x)^2-\log_2x-6=0$ повторяется одна величина. Положим $t=\log_2x$ при $x>0$:

Получаем $t=3$ или $t=-2$. Оба допустимы: значение логарифма не обязано быть положительным. Обратная замена даёт $x=8$ или $x=1/4$.

Сначала привести к одному основанию

Формула смены основания: $\log_b x=\log_a x/\log_a b$ при допустимых основаниях и $x>0$. Поэтому $\log_4x=\tfrac12\log_2x$.

В $\log_2x+\log_4x=6$ обозначим $t=\log_2x$: $t+t/2=6$, $t=4$, $x=16$. Множитель здесь $1/2$, а не $2$.

Запись $(\log_2x)^2$ означает квадрат значения логарифма. Она не равна $\log_2(x^2)$.

В $\log_{x-1}9=2$ неизвестное попало в основание. Нужны $x-1>0$ и $x-1\ne1$, то есть $x>1$, $x\ne2$. По определению $(x-1)^2=9$: кандидаты $4$ и $-2$, но допустим только $4$.

Квадрат внутри аргумента

$\log_2(x^2)=4$ определено при $x\ne0$ и даёт $x^2=16$, то есть $x=\pm4$. Переписать левую часть как $2\log_2x$ для отрицательного $x$ нельзя. Корректное равенство на всём ОДЗ: $\log_2(x^2)=2\log_2|x|$.

Логарифм внутри логарифма

В $\log_2(\log_3x)=1$ аргумент внешнего логарифма должен быть положительным: $\log_3x>0$, то есть $x>1$. По определению сначала $\log_3x=2$, затем $x=9$.

Логарифм в знаменателе

У $1/\log_2x$ нужны $x>0$ и $\log_2x\ne0$, то есть $x\ne1$. Запрет знаменателя нельзя потерять после умножения.