Профильная математика · ЕНТ · На русском

Уравнения с модулем: расстояние и все возможные случаи

Какие числа находятся на расстоянии 2 от числа 3? Это 1 и 5. Запись |x − 3| = 2 выражает ту же задачу — начнём с этого смысла и перейдём к разбору более сложных случаев.

Разобранных примеров: 7Задач с решениями: 16

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Уравнения с модулем» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

Как раскрывать модуль без потери решений

Нужны действия с отрицательными числами, линейные и квадратные уравнения, обозначения промежутков. Работаем в действительных числах. Неравенства с модулем и параметры здесь не рассматриваем.

Модуль — расстояние, а не команда поменять знак

$|x-3|$ — расстояние между числами $x$ и $3$ . Поэтому $|x-3|=2$ даёт $x=1$ или $x=5$ : можно отойти от $3$ на $2$ в любую сторону.

От числа 3 можно отойти на 2 влево или вправо. Получаем 1 и 5. Деления на прямой равномерные.

Определение по знаку

Для любого действительного $u$ :

|u|=\begin{cases}u,&u\ge0,\\-u,&u<0.\end{cases}

Если $u=-5$ , то $-u=5$ . Минус перед выражением не всегда делает результат отрицательным: он меняет его знак. В $|x-3|$ проверяют знак всего $x-3$ , а не только $x$ .

$|u|=c$ при $c>0$ означает $u=c$ или $u=-c$ . При $c=0$ остаётся $u=0$ , при $c<0$ решений нет. Сам модуль определён для любого действительного содержимого; дополнительные ограничения могут появиться из дробей, корней или логарифмов внутри него.

Если справа тоже есть x

Рассмотрим $|2x-1|=x+2$ . Правая часть обязана быть неотрицательной, значит, $x\ge-2$ . На этом условии разбираем две возможности:

2x-1=x+2\quad\text{или}\quad2x-1=-(x+2).

Первая даёт $x=3$ , вторая $3x=-1$ , $x=-1/3$ . Оба удовлетворяют $x\ge-2$ . Проверки: $5=5$ и $5/3=5/3$ .

Что означает «или»

Корню достаточно удовлетворять одной ветви, но он обязан удовлетворять исходным ограничениям. В общем случае $|f(x)|=g(x)$ требует $g(x)\ge0$ и хотя бы одного равенства $f(x)=g(x)$ или $f(x)=-g(x)$ .

Возведение обеих частей в квадрат без условия $g(x)\ge0$ опасно: оно стирает знак правой части.

Равные модули и вложенная запись

$|3x-2|=|x+2|$ означает, что содержимое модулей одинаково или противоположно:

3x-2=x+2\quad\text{или}\quad3x-2=-x-2.

Получаем $x=2$ или $x=0$ . Здесь обе части уже неотрицательны, дополнительное условие на их знак не нужно.

Модуль внутри модуля

В $\bigl||x|-2\bigr|=1$ сначала раскрываем внешний модуль: $|x|-2=1$ или $|x|-2=-1$ . Значит, $|x|=3$ или $|x|=1$ , откуда четыре корня $-3$ , $-1$ , $1$ , $3$ .

Каждый промежуточный ответ проверяйте: если получилось $|x|=-1$ , такая ветвь не даёт корней.

Несколько модулей: делим прямую по точкам смены знака

В $|x-1|+|x-4|=5$ выражения внутри модулей меняют знак при $1$ и $4$ . Разобьём прямую на три непересекающихся случая.

1. x < 1

Оба выражения отрицательны: $(1-x)+(4-x)=5$ , откуда $x=0$ . Он входит в этот случай.

2. 1 ≤ x ≤ 4

Первое выражение неотрицательно, второе неположительно: $(x-1)+(4-x)=3$ . Получается $3=5$ : решений на этом промежутке нет.

3. x > 4

Оба выражения положительны: $(x-1)+(x-4)=5$ , откуда $x=5$ . Он входит в свой случай. Ответ: $0$ и $5$ .

В граничных точках содержимое соответствующего модуля равно нулю; обе формулы раскрытия дают один результат. Границы должны попасть хотя бы в один случай, но в ответе повторы не нужны.

Когда подходит целый промежуток

Если бы справа стояло $3$ , подошли бы все $x\in[1;4]$ . Между точками сумма расстояний равна расстоянию $3$ между ними; вне отрезка она больше. При правой части меньше $3$ корней нет.

Замена |x| и ограничения исходной записи

В $x^2-5|x|+6=0$ удобно положить $t=|x|\ge0$ . Поскольку $x^2=|x|^2$ , получаем:

t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0.

Оба $t$ допустимы. Из $|x|=2$ получаем $x=\pm2$ , из $|x|=3$ — $x=\pm3$ . Вернуться к $x$ обязательно: каждое $t>0$ даёт два значения $x=\pm t$ , а $t=0$ — одно значение $x=0$ .

Знаменатель не исчезает

Выражение $|x-2|/(x-2)$ определено только при $x\ne2$ . При $x>2$ оно равно $1$ , при $x<2$ равно $-1$ . В точке $2$ возникает $0/0$ , а не единица и не ноль. Раскрытие модуля не отменяет исходные запреты.

Разбираем вместе

Примеры по шагам

Сначала проверьте знак правой части и исходные запреты. Если разбиваете числовую прямую на случаи, каждый найденный корень должен принадлежать своему промежутку.

Пример 1

Два значения выражения

Задание

Решите $|3x+2|=7$ .

$3x+2=7$ или $3x+2=-7$ . Получаем $x=5/3$ или $x=-3$ . Внутренние выражения равны $7$ и $-7$ , их модули одинаковы. Ответ: $5/3$ и $-3$ .

Пример 2

Отбор по правой части

Задание

Решите $|x+1|=2x-1$ .

Нужно $2x-1\ge0$ , то есть $x\ge1/2$ .

Первая ветвь: $x+1=2x-1$ , $x=2$ . Вторая: $x+1=-2x+1$ , $x=0$ ; это нарушает условие. Проверка при $2$ : $3=3$ . Ответ: $2$ .

Пример 3

Равенство модулей

Задание

Решите $|2x+3|=|x-1|$ .

$2x+3=x-1$ или $2x+3=-x+1$ . Получаем $x=-4$ или $x=-2/3$ .

При $-4$ модули равны $5$ , при $-2/3$ — $5/3$ . Ответ: $-4$ и $-2/3$ .

Пример 4

Три промежутка

Задание

Решите $|x+1|+|x-3|=6$ .

Точки смены знака: $-1$ и $3$ .

При $x<-1$ : $-x-1+3-x=6$ , $x=-2$ — подходит.
При $-1\le x\le3$ : $x+1+3-x=4$ , не $6$ — корней нет.
При $x>3$ : $x+1+x-3=6$ , $x=4$ — подходит.

Проверки: $1+5=6$ и $5+1=6$ . Ответ: $-2$ и $4$ .

Пример 5

Вложенные модули

Задание

Решите $\bigl||x|-4\bigr|=2$ .

Сначала $|x|-4=2$ или $|x|-4=-2$ . Значит, $|x|=6$ или $|x|=2$ . Ответ: $-6$ , $-2$ , $2$ , $6$ . В обоих случаях внешний модуль равен $2$ .

Пример 6

Замена и возврат

Задание

Решите $x^2-2|x|-3=0$ .

$t=|x|\ge0$ , $(t-3)(t+1)=0$ . Отрицательное $t=-1$ запрещено, $t=3$ даёт $x=\pm3$ . Проверка: $9-6-3=0$ . Ответ: $-3$ и $3$ .

Пример 7

Ответ-промежуток

Задание

Решите $\frac{|x-1|}{x-1}=-1$ .

ОДЗ: $x\ne1$ . При $x<1$ модуль равен $-(x-1)$ и дробь равна $-1$ : подходит весь промежуток. При $x>1$ дробь равна $1$ , не подходит. Ответ: $x\in(-\infty;1)$ . Точка $1$ исключена из-за знаменателя.

16 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Вопросы с выбором и соответствием тренируют выбор ответов и сопоставление; это сокращённые учебные варианты, а не точная копия формата ЕНТ. Это учебный набор, а не полный пробный тест; варианты и подсказки подобраны для обучения.

Перед началомОриентир для занятия: 40–55 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

Расстояние от числа

Решите $|x+2|=5$ .

Показать решение задания 1

$x+2=5$ или $x+2=-5$ . Ответ: $3$ и $-7$ . Это две точки на расстоянии $5$ от $-2$ .

Нулевое расстояние

Решите $|4x-8|=0$ .

Показать решение задания 2

Модуль равен нулю только при нулевом содержимом. $4x-8=0$ , $x=2$ . Других корней нет.

Проверка знака

Решите $|x-7|+2=0$ .

Показать решение задания 3

Понадобилось бы $|x-7|=-2$ . Модуль неотрицателен, поэтому решений нет.

Неизвестное справа

Решите $|3x-2|=x+4$ .

Показать решение задания 4

Нужно $x\ge-4$ . Ветви: $3x-2=x+4$ даёт $3$ ; $3x-2=-x-4$ даёт $-1/2$ . Оба допустимы. Проверки: $7=7$ и $7/2=7/2$ . Ответ: $3$ и $-1/2$ .

Проверка ветви

Решите $|x-4|=2x+1$ .

Показать решение задания 5

Нужно $x\ge-1/2$ . Первая ветвь $x-4=2x+1$ даёт $-5$ , что запрещено. Вторая $x-4=-2x-1$ даёт $1$ . Проверка: $3=3$ . Ответ: $1$ .

Равенство верно во всём случае

Решите $|x-2|=x-2$ .

Показать решение задания 6

При $x\ge2$ модуль раскрывается как $x-2$ : равенство верно для всего случая. При $x<2$ получаем $2-x=x-2$ , кандидат $2$ не входит в этот случай. Ответ: $[2;+\infty)$ .

Два модуля

Решите $|4x-1|=|2x+5|$ .

Показать решение задания 7

$4x-1=2x+5$ даёт $x=3$ ; $4x-1=-2x-5$ даёт $x=-2/3$ . Модули соответственно равны $11$ и $11/3$ . Ответ: $3$ и $-2/3$ .

Сумма расстояний

Решите $|x-2|+|x-6|=8$ .

Показать решение задания 8

При $x<2$ : $8-2x=8$ , $x=0$ . При $2\le x\le6$ сумма равна $4$ , решений нет. При $x>6$ : $2x-8=8$ , $x=8$ . Оба корня в своих случаях. Ответ: $0$ и $8$ .

Целый отрезок

Решите $|x+2|+|x-5|=7$ .

Показать решение задания 9

Расстояние между $-2$ и $5$ равно $7$ . Между ними сумма $(x+2)+(5-x)=7$ , подходит весь отрезок. Слева сумма $3-2x>7$ , справа $2x-3>7$ . Ответ: $[-2;5]$ .

Вложенная запись

Решите $\bigl||x|-3\bigr|=5$ .

Показать решение задания 10

$|x|-3=5$ или $|x|-3=-5$ . Первая ветвь даёт $|x|=8$ , вторая $|x|=-2$ и не имеет корней. Ответ: $-8$ и $8$ . Проверка: $|8-3|=5$ .

Повторяющийся модуль

Решите $x^2-7|x|+12=0$ .

Показать решение задания 11

$t=|x|\ge0$ : $(t-3)(t-4)=0$ . Оба значения допустимы; возврат даёт $-4$ , $-3$ , $3$ , $4$ . Проверки по $t$ : $9-21+12=0$ , $16-28+12=0$ .

Исходный знаменатель

Решите $\frac{|x+3|}{x+3}=1$ .

Показать решение задания 12

$x\ne-3$ . При $x>-3$ дробь равна $1$ , при $x<-3$ равна $-1$ . Ответ: $(-3;+\infty)$ . Нулевой знаменатель запрещён.

Почему нельзя распределить модуль?

Верно ли $|x-2|=|x|-2$ при всех $x$ ? Приведите контрпример.

Показать решение задания 13

Нет. При $x=0$ слева $|-2|=2$ , справа $0-2=-2$ . Модуль суммы или разности нельзя раскрывать по отдельным слагаемым.

Один правильный ответ

Сколько действительных корней у $|2x-6|=4$ ?

A) $0$

B) $1$

C) $2$

D) Бесконечно много

Показать решение задания 14

C. $2x-6=4$ даёт $5$ , а $2x-6=-4$ даёт $1$ . Это два разных корня; иных ветвей нет.

Выберите все корни

Какие числа являются корнями $|x^2-4|=5$ ?

A) $-3$

B) $0$

C) $3$

D) $1$

Показать решение задания 15

A, C. $x^2-4=5$ даёт $x=\pm3$ , а $x^2-4=-5$ даёт $x^2=-1$ без действительных решений. B даёт модуль $4$ , D — $3$ .

Сопоставьте множества

Сопоставьте уравнения и множества решений. Каждый вариант используется не более одного раза; один лишний.

I. $|x|=x$

II. $|x|=-x$

A) $x\le0$

B) $x\ge0$

C) Только $x=0$

Показать решение задания 16

I → B, II → A по определению модуля. Ноль входит в оба множества, но не является единственным решением ни одного уравнения.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Раскрыть модуль по знаку x

У $|x-5|$ знак меняется при $5$ , а не при нуле. Проверяйте выражение целиком.

Разрешить отрицательное расстояние

В $|f(x)|=g(x)$ сначала нужно $g(x)\ge0$ . Два знака без этой проверки могут добавить лишние корни.

Решить только одну ветвь

$|u|=4$ даёт $u=4$ или $u=-4$ . Обе ветви обязательны.

Не сверить корень с его случаем

Корень, найденный при условии $x<2$ , должен быть меньше $2$ . Алгебраический ответ за пределами случая отбрасывается.

Потерять весь промежуток

Если в некотором случае получилось верное равенство $7=7$ , подходят все числа этого случая, с учётом ОДЗ.

Потерять минусы при возврате

Из $t=|x|=3$ следуют $x=3$ и $x=-3$ . Значение $t\ge0$ не требует $x\ge0$ .

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Главная проверка: все ли случаи разобраны и относится ли каждый корень к своей ветви? Системы помогут применить ту же идею одновременного выполнения условий.

Программа

Связь с программой

Модуль не выделен отдельной строкой в спецификации НЦТ по математике с 2026 года. Этот материал развивает преобразования выражений и разбор случаев для подготовки к алгебраическим задачам. Он не означает гарантированное отдельное задание на модуль в каждом варианте ЕНТ.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 30 сентября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.