Профильная математика · ЕНТ · На русском

Иррациональные системы: убрать корни, сохранив условия

Квадратный корень из первого числа плюс второе число равны 5, а их разность равна 1. Сложение сразу помогает найти корень. Но ответом будет пара исходных чисел — и она должна подходить обоим условиям.

Разобранных примеров: 6Задач с решениями: 13

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Иррациональные системы» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

Корень неотрицателен — это часть решения

Нужны свойства квадратного корня, линейные и квадратные уравнения, подстановка и сложение в системах. Работаем с действительными числами и арифметическими квадратными корнями. Кубические корни, параметры и неравенства здесь не разбираем.

Сначала найдём корень, затем исходное число

Рассмотрим $\sqrt x+y=5$ , $\sqrt x-y=1$ . Система означает, что оба равенства выполняются одновременно.

Сложим их: $2\sqrt x=6$ . Тогда $\sqrt x=3$ и $x=9$ . Из первого равенства $y=5-3=2$ .

Ответ: $(9;2)$ , то есть $x=9$ , $y=2$ . Проверка: $3+2=5$ и $3-2=1$ . Здесь складывали уравнения, чтобы исключить y; одно исходное уравнение сохранили для его нахождения.

Иррациональной называют систему, в которой неизвестное находится под знаком корня хотя бы в одном уравнении. Решение — пара, подходящая всем строкам.

ОДЗ и знак второй части — разные проверки

В равенстве $\sqrt{x-1}=y$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x\ge1$ . Это область допустимых значений, или ОДЗ. Сам квадратный корень тоже неотрицателен, поэтому равенство дополнительно требует $y\ge0$ .

$\sqrt{x-1}=y$

⇔ Возводим в квадрат, сохраняя y ≥ 0

$x-1=y^2,\quad y\ge0$

При связи y = x − 3 пара (2; −1) проходит квадрат, но нарушает знак корня. Пара (5; 2) проходит исходную систему.

Переход к квадрату безопасен, если сохранить условие:

\sqrt{x-1}=y\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=y^2,\ y\ge0.

Символ $\Longleftrightarrow$ означает равносильность: множества решений одинаковы. В правой записи $x\ge1$ уже следует из $x-1=y^2$ , но при работе с несколькими корнями удобно сначала выписать всю ОДЗ.

Если другая строка задаёт $y=x-3$ , условие знака становится $x\ge3$ . Не теряйте его после подстановки.

Возводим в квадрат всё выражение

Из $\sqrt x+\sqrt y=5$ при $x,y\ge0$ получаем

x+2\sqrt{xy}+y=25.

Средний член не исчезает: квадрат суммы — это не сумма квадратов. Если другая строка задаёт $x+y=13$ , остаётся $2\sqrt{xy}=12$ , затем $xy=36$ . Закончим решение в следующем разделе.

Здесь обе стороны первого равенства неотрицательны; после выделения корня правая часть 6 тоже неотрицательна. Поэтому эти квадраты не добавляют решений на $x,y\ge0$ .

В более сложной системе сначала выразите один корень и проверьте знак всей противоположной части. Перед каждым следующим возведением в квадрат выпишите условие знака и сохраняйте его.

Замена корней на неотрицательные переменные

Пусть $u=\sqrt x$ , $v=\sqrt y$ . Тогда $u,v\ge0$ , а обратный переход — $x=u^2$ , $y=v^2$ .

Система $\sqrt x+\sqrt y=5$ , $x+y=13$ превращается в $u+v=5$ , $u^2+v^2=13$ . Квадрат первой строки даёт $25=13+2uv$ , то есть $uv=6$ . Числа u и v — 2 и 3 в любом порядке.

Возвращаемся к исходным переменным: $(x;y)=(4;9)$ или $(9;4)$ . Обе пары подходят: корни дают сумму 5, сами числа — сумму 13.

Если в замене $u=\sqrt{x-1}$ , возвращайтесь через $x=u^2+1$ , а не $x=u^2$ . Допустимо $u=0$ , если исходный корень не стоял в знаменателе.

Проверка не заменяет поиск всех кандидатов

Подстановка пары показывает, что она подходит, но сама по себе не доказывает, что других пар нет. Для полноты нужно решить полученную систему во всех ветвях и восстановить все допустимые пары.

Порядок проверки

Все подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели не нулевые.
Каждое исходное равенство выполнено с арифметическими корнями.
Координаты записаны в порядке $(x;y)$ и не перепутаны между ветвями.

Иногда решений нет сразу: сумма двух квадратных корней не может быть отрицательной. При нулевой сумме оба корня должны быть нулевыми.

Разбираем вместе

Примеры по шагам

Выписывайте ограничения до преобразований. Сохраняйте второе уравнение, находите обе координаты и проверяйте каждую пару в исходной системе.

Пример 1

Сложение без лишнего квадрата

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+y=7,\\\sqrt x-y=1.\end{cases}

ОДЗ: $x\ge0$ . Складываем: $2\sqrt x=8$ , откуда $\sqrt x=4$ , $x=16$ . Затем $y=7-4=3$ .

Ответ: $(16;3)$ . Проверка: $4+3=7$ , $4-3=1$ . Переменная $y$ не находится под корнем, поэтому изначально требовать $y\ge0$ не нужно.

Пример 2

Корень от суммы

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x+y}=3,\\x-y=1.\end{cases}

ОДЗ: $x+y\ge0$ . Правая часть 3 положительна, поэтому первая строка равносильна $x+y=9$ .

Сложим её со второй: $2x=10$ , значит, $x=5$ , $y=4$ .

Ответ: $(5;4)$ . Проверка: $\sqrt{5+4}=3$ и $5-4=1$ .

Пример 3

Кандидат с неправильным знаком

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x-1}=y,\\y=x-3.\end{cases}

ОДЗ: $x\ge1$ ; равенство требует $y\ge0$ , значит, $x\ge3$ . Подставим $y=x-3$ и возведём в квадрат:

x-1=(x-3)^2,

x^2-7x+10=0,

(x-2)(x-5)=0.

$x=2$ нарушает $x\ge3$ и дал бы $y=-1$ . Остаётся $x=5$ , $y=2$ .

Ответ: $(5;2)$ . Проверка: $\sqrt4=2$ , $5-3=2$ .

Пример 4

Замена двух корней

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=7,\\x+y=25.\end{cases}

Пусть $u=\sqrt x\ge0$ , $v=\sqrt y\ge0$ . Тогда $u+v=7$ , $u^2+v^2=25$ .

Из $49=25+2uv$ получаем $uv=12$ . Подставим $v=7-u$ : $u^2-7u+12=0$ , откуда $u=3$ или 4. Пары $(u;v)$ : $(3;4)$ и $(4;3)$ .

После обратной замены ответ: $(9;16)$ , $(16;9)$ . Для обеих пар сумма корней $3+4=7$ , сумма чисел $9+16=25$ .

Пример 5

Корень равен разности

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x+y}=x-y,\\x+y=4.\end{cases}

Из второй строки подкоренное выражение равно 4. Поэтому первая строка даёт $x-y=2$ , а не $\pm2$ : $\sqrt4=2$ .

Из суммы 4 и разности 2 получаем $x=3$ , $y=1$ .

Ответ: $(3;1)$ . Проверка: $\sqrt{3+1}=3-1=2$ . Пара $(1;3)$ имела бы отрицательную разность и не подходит.

Пример 6

Замена выявляет противоречие

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=2,\\\sqrt{xy}=2.\end{cases}

ОДЗ первой строки: $x,y\ge0$ . Положим $u=\sqrt x$ , $v=\sqrt y$ . Тогда $u+v=2$ , $uv=2$ , поскольку при неотрицательных x и y $\sqrt{xy}=\sqrt x\sqrt y$ .

Подставим $v=2-u$ : $u^2-2u+2=0$ . Дискриминант $4-8=-4<0$ .

Решений нет. Проверить невозможность можно также по $(u-v)^2=(u+v)^2-4uv=4-8=-4$ , а квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

13 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Задания с выбором ответа и на соответствие — сокращённые учебные варианты, а не копия формата ЕНТ и не пробный тест.

Перед началомОриентир для занятия: 35–50 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

Проверка пары

Выберите одну пару для $\sqrt x=y$ , $x+y=6$ : A) $(4;2)$ ; Б) $(4;-2)$ ; В) $(2;4)$ .

Показать решение задания 1

A: $(4;2)$ . $\sqrt4=2$ , $4+2=6$ . Б не проходит ни знак корня, ни сумму, В не проходит равенство $\sqrt2=4$ .

Исключить y

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+y=6,\\\sqrt x-y=2.\end{cases}

Показать решение задания 2

$x\ge0$ . Сложение даёт $2\sqrt x=8$ , значит, $x=16$ . Затем $y=2$ . Ответ: $(16;2)$ . Проверка: $4+2=6$ , $4-2=2$ .

Найти пару по сумме и разности

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x+y}=4,\\x-y=6.\end{cases}

Показать решение задания 3

Первая строка равносильна $x+y=16$ . Сложение со второй даёт $2x=22$ , значит, $x=11$ , $y=5$ . Ответ: $(11;5)$ . Проверка: $\sqrt{16}=4$ , $11-5=6$ .

Отсеять лишний корень

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x+2}=y,\\y=x.\end{cases}

Показать решение задания 4

ОДЗ $x\ge -2$ , но знак корня требует $x\ge 0$ . Квадрат даёт $x+2=x^2$ , то есть $(x-2)(x+1)=0$ . $x=-1$ недопустим по знаку. Ответ: $(2;2)$ . Проверка: $\sqrt4=2$ и $y=x$ .

Две симметричные пары

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=3,\\x+y=5.\end{cases}

Показать решение задания 5

$u=\sqrt x\ge0$ , $v=\sqrt y\ge0$ . $u+v=3$ , $9=5+2uv$ , значит, $uv=2$ . $u(3-u)=2$ даёт $u=1$ или 2; пары (u;v) — (1;2), (2;1). Ответ: $(1;4)$ , $(4;1)$ . Корни в сумме дают 3, числа — 5.

Сдвинутая замена

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=5,\\\sqrt{x-1}-\sqrt{y+2}=1.\end{cases}

Показать решение задания 6

ОДЗ $x\ge 1$ , $y\ge -2$ . Сложение даёт $\sqrt{x-1}=3$ , вычитание — $\sqrt{y+2}=2$ . Значит, $x=10$ , $y=2$ . Ответ: $(10;2)$ . Проверка: $3+2=5$ , $3-2=1$ .

Нулевая сумма

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}=0,\\x-y=3.\end{cases}

Показать решение задания 7

Оба корня неотрицательны, поэтому каждый равен нулю: $x=2$ , $y=-1$ . Вторая строка: $2-(-1)=3$ . Ответ: $(2;-1)$ . Отрицательный y допустим: под корнем находится $y+1$ .

Отрицательная сумма

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=-1,\\x-y=2.\end{cases}

Показать решение задания 8

На ОДЗ $x,y\ge0$ левая часть первой строки неотрицательна и не равна −1. Решений нет, независимо от второго уравнения. Возводить первую строку в квадрат не нужно.

Сохранить знак разности

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt{x+y}=y-x,\\x+y=9.\end{cases}

Показать решение задания 9

Из суммы следует $\sqrt{x+y}=3$ , поэтому $y-x=3$ . Вместе с $x+y=9$ получаем $y=6$ , $x=3$ . Ответ: $(3;6)$ . Проверка: $\sqrt9=6-3=3$ .

Ошибка в квадрате суммы

Для $\sqrt x+\sqrt y=4$ , $x+y=10$ ученик получил $x+y=16$ и заявил, что решений нет. Исправьте решение.

Показать решение задания 10

Он пропустил средний член: $x+y+2\sqrt{xy}=16$ . Значит, $\sqrt{xy}=3$ , $xy=9$ при $x,y\ge0$ . Из $x+y=10$ получаем $x(10-x)=9$ , то есть $(x-1)(x-9)=0$ . Ответ: $(1;9)$ , $(9;1)$ . Проверка: $1+3=4$ и $1+9=10$ .

Корень в знаменателе

Решите систему.

\begin{cases}1/\sqrt x=y,\\xy=2.\end{cases}

Показать решение задания 11

ОДЗ: $x>0$ . Так как $1/\sqrt x>0$ , равенство требует ещё $y>0$ . Подстановка даёт $x/\sqrt x=2$ , то есть $\sqrt x=2$ . Значит, $x=4$ , $y=1/2$ . Ответ: $(4;1/2)$ . Проверка: $1/\sqrt4=1/2$ , $4\cdot1/2=2$ .

Одна симметричная пара

Решите систему.

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=6,\\x+y=18.\end{cases}

Показать решение задания 12

Для $u=\sqrt x$ , $v=\sqrt y$ имеем $u+v=6$ и $u^2+v^2=18$ . Тогда $uv=(36-18)/2=9$ . Уравнение $u(6-u)=9$ даёт $(u-3)^2=0$ , значит, $u=v=3$ . Ответ: $(9;9)$ . Проверка: $3+3=6$ , $9+9=18$ . Других ветвей у квадратного уравнения нет.

Сопоставьте систему и пару

Сопоставьте системы: A) $\sqrt x=y$ , $x+y=2$ ; Б) $\sqrt x=y$ , $x+y=12$ ; В) $\sqrt x=y$ , $x+y=0$ . Ответы: 1) (9;3); 2) (0;0); 3) (1;1).

Показать решение задания 13

A–3, Б–1, В–2. Положим $y=\sqrt x\ge0$ , тогда $x=y^2$ . Получаем $y^2+y=2$ , 12 или 0. Корни для y: 1 и −2; 3 и −4; 0 и −1 соответственно; отрицательные отбрасываем. Остаются пары (1;1), (9;3), (0;0), каждая проверяется в обеих строках.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Оставить только ОДЗ

В $\sqrt{x-1}=y$ мало $x\ge 1$ . Равенство требует ещё $y\ge 0$ .

Забыть смешанный член

$(\sqrt x+\sqrt y)^2=x+2\sqrt{xy}+y$ при $x,y\ge0$ .

Ответить новыми переменными

Если $u=\sqrt{x-1}$ , то $x=u^2+1$ . Пара (u;v) ещё не является ответом для (x;y).

Проверить одну строку

Каждая пара должна выполнять всю исходную систему. После квадрата вернитесь к арифметическому корню, без знака ±.

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Проверьте, можете ли вы объяснить каждый запрет и подставить пару в обе исходные строки. Для других систем пригодятся те же методы сложения и замены.

Программа

Связь с программой

Тема 09 спецификации НЦТ включает системы иррациональных уравнений. Здесь рассматриваем системы с квадратными корнями: ОДЗ, равносильное возведение в квадрат, подстановку и замену. Практика авторская, не официальный вариант ЕНТ.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 1 октября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.