Профильная математика · ЕНТ · На русском

Показательные системы: от степеней к знакомой алгебре

Если 2 в степени x равно 8, то x равно 3. В системе нужно подобрать уже два показателя, чтобы выполнялись оба условия. Иногда их можно сравнить сразу, а иногда удобнее временно обозначить сами степени буквами.

Разобранных примеров: 6Задач с решениями: 13

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Показательные системы» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

Выбираем, с чем работать: с показателями или степенями

Нужны свойства степеней, показательные уравнения, линейные и квадратные системы, определение логарифма. Работаем с действительными x и y; основания степеней фиксированы, положительны и не равны 1.

Два равенства — одна подходящая пара

В системе $2^x=8$ , $3^y=9$ первая строка даёт $x=3$ , вторая — $y=2$ . Ответ — $(3;2)$ ; переставлять числа нельзя.

Показательной называют систему, в которой неизвестные встречаются в показателях степеней. В более сложных задачах x и y связаны: тогда решение одной строки нужно использовать во второй.

Проверка исходной пары: $2^3=8$ , $3^2=9$ . Система требует оба равенства одновременно.

Одно основание позволяет сравнивать показатели

Для фиксированного $a>0$ , $a\ne1$ разные показатели дают разные значения. Поэтому $a^A=a^B$ равносильно $A=B$ . Это верно и при $0<a<1$ .

Например, $4^{x+y}=8$ перепишем как $2^{2x+2y}=2^3$ . Теперь получаем $2x+2y=3$ .

Сначала перепишите основания

$4=2^2$ , $8=2^3$ , $1/2=2^{-1}$ . При возведении степени в степень показатели умножаются: $(2^2)^x=2^{2x}$ , не $2^{x+2}$ .

Из $2^x=3^y$ нельзя заключать $x=y$ . Основания здесь разные. Их можно связать логарифмированием или использовать другое уравнение системы.

Замена превращает степени в обычные неизвестные

В системе $2^x+3^y=13$ , $2\cdot2^x-3^y=-1$ повторяются целые выражения $2^x$ и $3^y$ . Обозначим их u и v.

$u=2^x>0,\quad v=3^y>0$

Решаем алгебраическую систему для u и v

$(u;v)=(4;9)$

Возвращаемся к показателям: 2² = 4 и 3² = 9

$(x;y)=(2;2)$

Новая пара хранит значения степеней. Ответ исходной системы — соответствующие показатели. Сверьте переходы с решением ниже.

Получаем $u+v=13$ , $2u-v=-1$ . Сложение даёт $3u=12$ , значит, $u=4$ и $v=9$ . Теперь $2^x=4$ , $3^y=9$ , откуда $x=y=2$ .

Ограничения замены: $u>0$ и $v>0$ , поскольку степень положительного основания положительна. Любое положительное u соответствует ровно одному действительному x; для основания 2 это $x=\log_2u$ .

Нулевое или отрицательное значение новой переменной отбрасываем. Сам x может быть нулевым или отрицательным: $2^0=1$ , $2^{-1}=1/2$ .

Сумма степеней и произведение степеней

При $u=2^x$ , $v=2^y$ выражение $2^{x+y}$ равно $uv$ . Но $2^x+2^y$ равно $u+v$ , а не $2^{x+y}$ .

Если $u+v=S$ и $uv=P$ , можно подставить $v=S-u$ и получить $u^2-Su+P=0$ . Каждый корень u соединяется со своим $v=S-u$ . Проверьте положительность обоих, затем верните показатели.

Для обратной степени $2^{-x}=1/u$ . Поскольку $u>0$ , деление допустимо. После умножения на $uv$ исходная положительность остаётся обязательной.

Логарифм в ответе — точное число

Если $2^x=5$ , нет необходимости угадывать целый показатель: $x=\log_2 5$ . Логарифм — это показатель, в который возводят основание, чтобы получить аргумент.

В записи $2^{\log_2 5}=5$ равенство точное. Чтобы логарифм был определён, аргумент должен быть положительным; основание — положительным и не равным 1.

Например, $2^x=3^y$ после логарифмирования по основанию 2 даёт $x=y\log_2 3$ . Другую строку системы нужно сохранить. Округлять логарифмы без просьбы условия не следует.

Разбираем вместе

Примеры по шагам

Проверяйте основания до сравнения показателей. При замене степеней фиксируйте положительность, сохраняйте пары и возвращайтесь к x и y.

Пример 1

Линейная система показателей

Задание

Решите систему.

\begin{cases}2^{x+y}=32,\\2^{x-y}=2.\end{cases}

Запишем $32=2^5$ и $2=2^1$ . Одинаковое основание 2 даёт $x+y=5$ и $x-y=1$ .

Сложение: $2x=6$ , значит, $x=3$ , $y=2$ . Ответ: $(3;2)$ . Проверка: $2^5=32$ , $2^1=2$ .

Пример 2

Разные основания — разные новые переменные

Задание

Решите систему.

\begin{cases}2^x+3^y=17,\\3\cdot2^x-3^y=15.\end{cases}

Пусть $u=2^x>0$ , $v=3^y>0$ . Сложим $u+v=17$ и $3u-v=15$ : $4u=32$ , $u=8$ , $v=9$ .

Оба значения положительны. $2^x=8$ даёт $x=3$ , $3^y=9$ даёт $y=2$ .

Ответ: $(3;2)$ . Проверка: 8+9=17, 3·8−9=15.

Пример 3

Два порядка одной пары

Задание

Решите систему.

\begin{cases}2^x+2^y=10,\\2^{x+y}=16.\end{cases}

Пусть $u=2^x>0$ , $v=2^y>0$ . Тогда $u+v=10$ , $uv=16$ . Подстановка $v=10-u$ даёт $u^2-10u+16=0$ , то есть $(u-2)(u-8)=0$ .

Получаем (u;v)=(2;8) или (8;2). Обратная замена даёт ответ: $(1;3)$ , $(3;1)$ .

У обеих пар сумма степеней 2+8=10 и $2^{1+3}=16$ . Симметрия позволяет оба порядка.

Пример 4

Отрицательный показатель допустим

Задание

Решите систему.

\begin{cases}(1/2)^{x+y}=4,\\4^{x-y}=16.\end{cases}

Приведём к основанию 2: $2^{-x-y}=2^2$ , $2^{2x-2y}=2^4$ .

Отсюда $x+y=-2$ и $x-y=2$ , поэтому $x=0$ , $y=-2$ .

Ответ: $(0;-2)$ . Проверка: $(1/2)^{-2}=4$ , $4^2=16$ . Отрицательным получилось y, а значения степеней остаются положительными.

Пример 5

Решение новой системы может быть недопустимым

Задание

Решите систему.

\begin{cases}2^x+3^y=1,\\2^x-3^y=3.\end{cases}

Для $u=2^x>0$ , $v=3^y>0$ получаем $u+v=1$ , $u-v=3$ . Сложение даёт $u=2$ , затем $v=-1$ .

Уравнение $3^y=-1$ не имеет действительных решений. Исходная система решений не имеет. Положительность u не компенсирует недопустимость v.

Пример 6

Точный ответ с логарифмами

Задание

Решите систему.

\begin{cases}2^x+3^y=12,\\2^x-3^y=-2.\end{cases}

Пусть $u=2^x$ , $v=3^y$ . Сложение даёт $2u=10$ , $u=5$ . Затем $v=7$ . Оба значения положительны.

Ответ: $(\log_2 5;\log_3 7)$ . Проверка: $2^{\log_2 5}=5$ , $3^{\log_3 7}=7$ , поэтому сумма равна 12, разность −2. Приближения не нужны.

13 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Задания с выбором ответа и на соответствие — сокращённые учебные варианты, а не копия формата ЕНТ и не пробный тест.

Перед началомОриентир для занятия: 35–50 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

Одна правильная пара

Какая пара подходит системе $2^x=4$ , $3^y=27$ ? Выберите одну: A) (2;3); Б) (3;2); В) (4;27).

Показать решение задания 1

A: (2;3). $2^2=4$ , $3^3=27$ . В Б показатели перепутаны, в В вместо показателей записаны значения степеней.

Сумма и разность показателей

Решите систему.

\begin{cases}3^{x+y}=81,\\3^{x-y}=9.\end{cases}

Показать решение задания 2

$81=3^4$ , $9=3^2$ . Значит, $x+y=4$ , $x-y=2$ . Сложение даёт $x=3$ , затем $y=1$ . Ответ: (3;1). Проверка: $3^4=81$ , $3^2=9$ .

Привести к одному основанию

Решите систему.

\begin{cases}4^x=2^{y+2},\\x+y=4.\end{cases}

Показать решение задания 3

$4^x=2^{2x}$ , поэтому $2x=y+2$ . Подстановка $y=4-x$ даёт $3x=6$ . Ответ: (2;2). Проверка: $4^2=2^4=16$ , сумма 4.

Показатель меньше нуля

Решите систему.

\begin{cases}2^x=1/4,\\2^{x+y}=8.\end{cases}

Показать решение задания 4

$1/4=2^{-2}$ , поэтому $x=-2$ . Из второго $x+y=3$ , значит, $y=5$ . Ответ: (−2;5). Проверка: $2^{-2}=1/4$ , $2^{-2+5}=8$ .

Линейная замена

Решите систему.

\begin{cases}2^x+3^y=11,\\2^x-3^y=5.\end{cases}

Показать решение задания 5

Для $u=2^x>0$ , $v=3^y>0$ сумма строк даёт $2u=16$ . Тогда $u=8$ , $v=3$ . Ответ: (3;1). Проверка: 8+3=11, 8−3=5.

Ноль не подходит

Решите систему.

\begin{cases}2^x+3^y=4,\\2^x-3^y=4.\end{cases}

Показать решение задания 6

Вычитание второй строки из первой даёт $2\cdot3^y=0$ , значит, $3^y=0$ . Но степень положительна. Решений нет. $y=0$ не помогает: $3^0=1$ .

Два решения

Решите систему.

\begin{cases}3^x+3^y=12,\\3^{x+y}=27.\end{cases}

Показать решение задания 7

$u=3^x>0$ , $v=3^y>0$ : $u+v=12$ , $uv=27$ . Уравнение $u^2-12u+27=0$ даёт $u=3$ или 9, $v=9$ или 3 соответственно. Ответ: (1;2), (2;1). Проверка: 3+9=12, $3^{1+2}=27$ .

Совпавшие корни

Решите систему.

\begin{cases}2^x+2^y=8,\\2^{x+y}=16.\end{cases}

Показать решение задания 8

$u+v=8$ , $uv=16$ при $u,v>0$ . $u^2-8u+16=(u-4)^2=0$ , поэтому $u=v=4$ . Ответ: (2;2), одна пара. Проверка: 4+4=8, $2^4=16$ .

Обратные степени

Решите систему.

\begin{cases}2^x+2^y=6,\\2^{-x}+2^{-y}=3/4.\end{cases}

Показать решение задания 9

$u=2^x>0$ , $v=2^y>0$ . Тогда $u+v=6$ и $(u+v)/(uv)=3/4$ , то есть $6/(uv)=3/4$ . Отсюда $uv=8$ , а $u^2-6u+8=0$ даёт $u=2$ или 4. Ответ: (1;2), (2;1). Проверка: 2+4=6 и 1/2+1/4=3/4.

Разные основания нельзя игнорировать

Ученик заменил $2^x=4^y$ , $x+y=3$ на $x=y$ , $x+y=3$ . Исправьте решение.

Показать решение задания 10

$4^y=2^{2y}$ , поэтому $x=2y$ , а не $x=y$ . Из $2y+y=3$ получаем $y=1$ , $x=2$ . Ответ: (2;1). Проверка: $2^2=4^1=4$ , сумма 3.

Необязательно целые показатели

Решите систему.

\begin{cases}2^x+5^y=10,\\2^x-5^y=4.\end{cases}

Показать решение задания 11

$u=2^x$ , $v=5^y$ . Сложение: $2u=14$ , значит, $u=7$ , $v=3$ , оба положительны. Ответ: $(\log_2 7;\log_5 3)$ . Проверка: 7+3=10, 7−3=4.

Отбросить отрицательную ветвь

Решите систему.

\begin{cases}2^x-2^y=2,\\2^{x+y}=8.\end{cases}

Показать решение задания 12

Обозначим $u=2^x>0$ , $v=2^y>0$ . Получаем $u-v=2$ , $uv=8$ . Из первого $u=v+2$ , поэтому

v(v+2)=8,

v^2+2v-8=0,

(v-2)(v+4)=0.

Кандидат $v=-4$ недопустим: степень не может быть отрицательной. Остаётся $v=2$ , $u=4$ . После обратной замены ответ: $(2;1)$ . Проверка: $2^2-2^1=2$ , $2^{2+1}=8$ .

Сопоставьте систему и показатели

Во всех системах $2^x=4^y$ . Сопоставьте второе условие: A) $x+y=0$ ; Б) $x+y=-3$ ; В) $x+y=6$ . Ответы: 1) (4;2); 2) (0;0); 3) (−2;−1).

Показать решение задания 13

A–2, Б–3, В–1. Общая первая строка равносильна $x=2y$ . Поэтому сумма равна 3y: получаем $y=0$ , −1 или 2, затем $x=0$ , −2 или 4. Проверки степеней: 1=1, 1/4=1/4, 16=16; суммы равны указанным значениям.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Сравнить показатели при разных основаниях

Сначала перепишите $4^y=2^{2y}$ . Из $2^x=4^y$ следует $x=2y$ .

Оставить нулевую замену

$u=a^x$ строго положительно. $u=0$ недопустимо; при $x=0$ получаем $u=1$ .

Сложить показатели в сумме

$2^x+2^y$ — сумма значений. $2^{x+y}=2^x\cdot2^y$ — их произведение.

Перепутать пары

Если $u+v=10$ и $u=2$ , то $v=8$ . Нельзя произвольно соединить найденные значения: восстановите каждую пару и проверьте обе строки.

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Убедитесь, что проверили положительность новых переменных и восстановили каждую пару исходных показателей. Для логарифмических ответов повторите определение логарифма.

Программа

Связь с программой

Тема 09 спецификации НЦТ включает системы показательных уравнений. Здесь: переход к одному основанию, замена положительных степеней, сумма и произведение, обратные степени и точные логарифмические ответы. Параметры и системы неравенств — отдельные материалы.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 1 октября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.