Показательные неравенства: основание определяет направление

Сравним $2^x>8$. Так как $8=2^3$, при большем x степень двойки больше 8. Поэтому x>3. А в $(1/2)^x>1/8$ правая часть равна $(1/2)^3$, но ответ уже x<3: степень уменьшается с ростом показателя.

Показательная функция $a^x$ возрастает при a>1: если показатель увеличивается, значение увеличивается. При 0<a<1 она убывает: значение уменьшается. Это свойство позволяет сравнивать показатели.

Для одинакового фиксированного основания:

• при $a>1$ из $a^u>a^v$ получаем $u>v$;
• при $0<a<1$ из $a^u>a^v$ получаем $u<v$.

Для ≥ сохраняется возможность равенства; правило направления то же. Основание должно быть одним и тем же: из $2^x>3^x$ нельзя просто «убрать степени».

В $4^x\le8$ запишем $4^x=2^{2x}$, $8=2^3$. Основание 2 больше 1, значит, $2x\le3$ и $x\le3/2$.

Для $9^{x-1}>3^{x+2}$ получаем $3^{2x-2}>3^{x+2}$. Следовательно, $2x-2>x+2$, то есть x>4.

Не путайте два источника изменения знака: переход от степеней с основанием меньше 1 меняет направление сравнения показателей; последующее деление обычного неравенства на отрицательное число меняет знак ещё раз.

Не забывайте, что $a^0=1$, а отрицательный показатель допустим: $2^{-2}=1/4$. Положительной остаётся сама степень, а не обязательно x.

Степень положительного основания $a^x$ строго положительна при любом действительном x. Поэтому $2^x>-3$ верно для всех x, а $2^x\le0$ не имеет решений.

Если положительная граница не является знакомой степенью, запишите её точно через логарифм. Например, $2^x>5$ равносильно $x>\log_2 5$, потому что $5=2^{\log_2 5}$.

Для основания 1/2 направление обратное: $(1/2)^x>5$ даёт $x<\log_{1/2}5$. Аргумент логарифма должен быть положительным. Нельзя брать логарифм от отрицательной границы, чтобы решить $2^x>-3$: это не нужно и недопустимо.

В $4^x-5\cdot2^x+4\le0$ заметим $4^x=(2^x)^2$. Обозначим $t=2^x$, причём t>0. Получим обычное квадратное неравенство:

$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\le0.$

Отсюда $1\le t\le4$. Возвращаем степень: $1\le2^x\le4$. Поскольку основание 2 больше 1, получаем $0\le x\le2$.

Степень принимает только положительные значения, поэтому сначала пересекаем ответ для t с $(0;+\infty)$. Каждому положительному t соответствует ровно один действительный x: это позволяет затем перевести каждый промежуток обратно к x.

Для $t=(1/2)^x$ при обратном переходе порядок границ меняется. Например, $1/4\le t\le1/2$ означает $1\le x\le2$.

В $\frac{2^x-1}{2^x-4}\ge0$ исходный знаменатель требует x≠2. Замена $t=2^x>0$ даёт $(t-1)/(t-4)\ge0$ при t≠4.

По методу интервалов дробь неотрицательна при $t\le1$ или $t>4$. Вместе с t>0 это $(0;1]\cup(4;+\infty)$.

Возвращаемся к x: $0<2^x\le1$ даёт x≤0, а $2^x>4$ — x>2. Ответ: $(-\infty;0]\cup(2;+\infty)$.

Граница t=0 не превращается в x=0: нулевая степень даёт t=1. У значения t=0 вообще нет действительного прообраза.