Профильная математика · ЕНТ · На русском

Тригонометрические системы: выполнить все условия одновременно

Синус угла равен 1/2. Этому условию удовлетворяют разные углы. Если ещё известен косинус, выбор сужается. Научимся совмещать условия и записывать все решения, а не только первый подходящий угол.

Разобранных примеров: 6Задач с решениями: 13

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Тригонометрические системы» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

От общего угла к связанным неизвестным

Нужны единичная окружность, значения синуса и косинуса, общие решения тригонометрических уравнений и линейные системы. Углы в радианах, если явно не указан знак градуса. Переменные действительные.

Одна переменная: угол должен выполнить оба условия

На одном обороте $0\le x<2\pi$ равенству $\sin x=1/2$ подходят два угла: $\pi/6$ и $5\pi/6$ . Добавим условие $\cos x=\sqrt3/2$ . Проверим каждый угол.

Угол	sin x	cos x	Оба условия?
π/6	1/2	√3/2	Да
5π/6	1/2	−√3/2	Нет

Для sin x = 1/2 и cos x = √3/2 на одном обороте подходит только π/6. Вторая строка проходит лишь первое условие.

Система означает «и». Из первого уравнения берём кандидатов и оставляем те, что удовлетворяют второму. Это называется пересечением множеств решений.

Вне одного оборота подходящий угол повторяется: $x=\pi/6+2\pi k$ , где $k\in\mathbb Z$ — любое целое число. Например, $k=-1,0,1$ дают углы $-11\pi/6$ , $\pi/6$ , $13\pi/6$ . Объединять ответы уравнений нельзя: нужно их пересечение.

Две переменные: ответом становятся пары

Пусть $\sin x=0$ , $\cos y=1$ . Тогда $x=\pi k$ , а $y=2\pi n$ . Здесь $k$ и $n$ независимы: любое целое значение первого можно сочетать с любым целым значением второго.

Ответ: $(x;y)=(\pi k;2\pi n)$ , $k,n\in\mathbb Z$ . Запись с одним параметром $(\pi k;2\pi k)$ теряет, например, пару $(0;2\pi)$ .

Но если система содержит ещё связь вроде $y=x+\pi$ , независимости уже нет: найденный $x$ нужно подставлять именно в эту связь. Пара — это значение $x$ на первом месте и соответствующее ему значение $y$ на втором.

Подстановка сохраняет связь между углами

Если $x+y=\pi/2$ , выразим $y=\pi/2-x$ . Тогда $\sin y=\cos x$ : второй угол дополняет первый до прямого. Можно заменить вторую переменную и решать уравнение только для $x$ .

После решения обязательно найдите $y$ для каждого $x$ . Если оба угла ограничены промежутками, проверьте ограничения обоих.

Полезная формула для суммы:

\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.

Сначала найдите известную сумму или разность аргументов. Не делите на синус или косинус, пока не рассмотрели случай, когда делитель равен нулю.

Замена значений функций — ещё не ответ

В системе $\sin x+\sin y=1$ , $\sin x-\sin y=0$ обозначим $u=\sin x$ , $v=\sin y$ . Второе уравнение даёт $u=v$ ; сложение — $2u=1$ . Значит, $u=v=1/2$ .

Для синуса и косинуса новые переменные должны лежать в $[-1;1]$ . Значение $u=2$ не даёт ни одного угла. После допустимой замены нужно решить исходные тригонометрические уравнения и сохранить все сочетания их ветвей.

Для тангенса такого ограничения на значение нет, но исходный угол должен удовлетворять $\cos x\ne0$ . Для котангенса требуется $\sin x\ne0$ .

Если известны сумма и разность углов

Когда найдены $x+y=A$ и $x-y=B$ , сложение и вычитание дают

x=\frac{A+B}{2},\qquad y=\frac{A-B}{2}.

Вместе с числами делятся и слагаемые с периодами. Например, из $A=2\pi k$ , $B=\pi n$ следует $x=\pi k+\pi n/2$ , $y=\pi k-\pi n/2$ .

Последняя проверка

Подставьте ответ в оба исходных условия. Если ищете решения на отрезке, включайте только разрешённые концы. Радианы и градусы нельзя смешивать: полный оборот — $2\pi$ радиан или $360^\circ$ .

Разбираем вместе

Примеры по шагам

Сначала определите, сколько неизвестных. Для одного угла ищем пересечение, для двух — пары и связь между ними. В общих ответах k и n обозначают целые числа.

Пример 1

Один общий угол

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sin x=\sqrt2/2,\\\cos x=-\sqrt2/2.\end{cases}

Из первого условия $x=\pi/4+2\pi k$ или $x=3\pi/4+2\pi k$ , где $k\in\mathbb Z$ .

В первой ветви косинус равен $\sqrt2/2$ , во второй — $-\sqrt2/2$ . Сохраняем вторую.

Ответ: $x=3\pi/4+2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . Синус равен $\sqrt2/2$ и косинус равен $-\sqrt2/2$ при каждом таком $k$ .

Пример 2

Второе условие не всегда сужает ответ

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\sin x=0,\\\cos 2x=1.\end{cases}

Первое уравнение даёт $x=\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . Тогда $2x=2\pi k$ , поэтому $\cos2x=1$ автоматически.

Ответ: $x=\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . Нельзя оставить только $2\pi k$ : нечётные кратные $\pi$ тоже подходят.

Пример 3

Система относительно аргументов

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\cos(x+y)=1,\\\sin(x-y)=0.\end{cases}

Равенства требуют $x+y=2\pi k$ и $x-y=\pi n$ , где $k,n\in\mathbb Z$ независимо.

Сложим уравнения: $2x=2\pi k+\pi n$ . Вычтем второе из первого: $2y=2\pi k-\pi n$ .

Ответ: $(x;y)=(\pi k+\pi n/2;\pi k-\pi n/2)$ , $k,n\in\mathbb Z$ . Обратная подстановка возвращает аргументы $2\pi k$ и $\pi n$ , поэтому проверены обе строки.

Пример 4

Четыре сочетания ветвей

Задание

Решите систему при $x,y\in[0;2\pi)$ .

\begin{cases}\sin x+\sin y=1,\\\sin x-\sin y=0.\end{cases}

Сложение даёт $2\sin x=1$ , затем $\sin y=1/2$ . Каждый угол равен $\pi/6$ или $5\pi/6$ в указанном промежутке.

Ответ: $(\pi/6;\pi/6)$ , $(\pi/6;5\pi/6)$ , $(5\pi/6;\pi/6)$ , $(5\pi/6;5\pi/6)$ .

У всех четырёх пар сумма синусов равна 1, а разность 0. Требование $x=y$ исходная система не содержит.

Пример 5

Сумма углов и сумма синусов

Задание

Решите систему при $x,y\in[0;\pi/2]$ .

\begin{cases}x+y=\pi/2,\\\sin x+\sin y=\sqrt2.\end{cases}

Используем формулу суммы: $\sin x+\sin y=2\sin(\pi/4)\cos((x-y)/2)$ .

Получаем $\sqrt2\cos((x-y)/2)=\sqrt2$ , то есть $\cos((x-y)/2)=1$ . Половина разности лежит в $[-\pi/4;\pi/4]$ , где косинус равен 1 только при нуле.

Значит, $x=y$ , а с учётом суммы $x=y=\pi/4$ . Ответ: $(\pi/4;\pi/4)$ . Проверка: сумма углов $\pi/2$ , сумма синусов $2\cdot\sqrt2/2=\sqrt2$ .

Пример 6

Тангенс и знак косинуса

Задание

Решите систему.

\begin{cases}\operatorname{tg}x=1,\\\cos x=-\sqrt2/2.\end{cases}

Тангенс определён при $\cos x\ne0$ . Из него $x=\pi/4+\pi k$ .

При чётном $k$ угол с точностью до полного оборота попадает в I четверть, где $\cos x=\sqrt2/2$ ; при нечётном — в III, где $\cos x=-\sqrt2/2$ . Пусть $k=2n+1$ .

Ответ: $x=5\pi/4+2\pi n$ , $n\in\mathbb Z$ . Косинус не нулевой, тангенс равен 1, второе равенство выполнено.

13 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Задания с выбором ответа и на соответствие — сокращённые учебные варианты, а не копия формата ЕНТ и не пробный тест.

Перед началомОриентир для занятия: 35–50 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

Проверить угол

Какой угол подходит системе $\sin x=1/2$ , $\cos x=-\sqrt3/2$ ? Выберите один: A) $\pi/6$ ; Б) $5\pi/6$ ; В) $7\pi/6$ .

Показать решение задания 1

Б: $5\pi/6$ . Синус $1/2$ , косинус $-\sqrt3/2$ . У A неверен знак косинуса, у В синус отрицателен.

Отрицательный синус

Решите систему на $[0;2\pi)$ .

\begin{cases}\sin x=-1/2,\\\cos x=\sqrt3/2.\end{cases}

Показать решение задания 2

Для отрицательного синуса кандидаты $7\pi/6$ и $11\pi/6$ . Положительный косинус только у второго. Ответ: $11\pi/6$ . Он даёт требуемые значения обеих функций.

Нет общего решения

Решите систему.

\begin{cases}\sin x=1,\\\cos x=1.\end{cases}

Показать решение задания 3

При $\sin x=1$ имеем $x=\pi/2+2\pi k$ , где косинус 0. Решений нет. Также требуемые значения противоречат $\sin^2x+\cos^2x=1$ : слева получилось бы 2.

Не забыть концы

Решите систему на $[0;2\pi]$ .

\begin{cases}\sin x=0,\\\cos x=1.\end{cases}

Показать решение задания 4

Первое условие даёт $0,\pi,2\pi$ на отрезке. Косинус при $\pi$ равен $-1$ . Ответ: $0$ и $2\pi$ ; оба конца включены.

Два независимых угла

Решите систему.

\begin{cases}\sin x=0,\\\cos y=-1.\end{cases}

Показать решение задания 5

$x=\pi k$ , $y=\pi+2\pi n$ . Ответ: $(\pi k;\pi+2\pi n)$ , $k,n\in\mathbb Z$ независимо. Подстановка даёт синус 0 и косинус $-1$ .

Сложение уравнений

Решите систему при $x,y\in[0;2\pi)$ .

\begin{cases}\sin x+\cos y=0,\\\sin x-\cos y=0.\end{cases}

Показать решение задания 6

Сложим: $2\sin x=0$ , значит, $x=0$ или $\pi$ . Затем $\cos y=0$ , значит, $y=\pi/2$ или $3\pi/2$ . Ответ: $(0;\pi/2)$ , $(0;3\pi/2)$ , $(\pi;\pi/2)$ , $(\pi;3\pi/2)$ . Обе левые части равны нулю.

Недопустимое значение синуса

Решите систему.

\begin{cases}\sin x+\sin y=3,\\\sin x-\sin y=1.\end{cases}

Показать решение задания 7

Сложение даёт $2\sin x=4$ , то есть $\sin x=2$ . Это вне $[-1;1]$ . Решений нет, даже если второе значение $\sin y=1$ допустимо.

Периоды в аргументах

Решите систему.

\begin{cases}\sin(x+y)=0,\\\cos(x-y)=1.\end{cases}

Показать решение задания 8

$x+y=\pi k$ , $x-y=2\pi n$ . После сложения и вычитания ответ: $(\pi k/2+\pi n;\pi k/2-\pi n)$ , $k,n\in\mathbb Z$ . Сумма возвращает $\pi k$ , разность — $2\pi n$ , что проверяет систему.

Связь между углами

Решите систему при $x\in[0;2\pi)$ . На $y$ отдельного ограничения нет.

\begin{cases}y=x+\pi,\\\sin x=1/2.\end{cases}

Показать решение задания 9

$x=\pi/6$ или $5\pi/6$ . Подставляем каждое значение в связь: $y=7\pi/6$ или $11\pi/6$ соответственно. Ответ: $(\pi/6;7\pi/6)$ , $(5\pi/6;11\pi/6)$ . Перекрёстные сочетания нарушили бы $y=x+\pi$ .

Почему один параметр теряет решения

Для $\sin x=0$ , $\sin y=0$ ученик написал только $(\pi k;\pi k)$ . Найдите пропущенную пару и исправьте общий ответ.

Показать решение задания 10

Например, $(0;\pi)$ подходит обоим уравнениям, но не имеет одинаковых координат. Общий ответ: $(\pi k;\pi n)$ , $k,n\in\mathbb Z$ . Эти независимые параметры охватывают все нули каждого синуса.

Градусы

Решите систему при $0^\circ\le x<360^\circ$ .

\begin{cases}\operatorname{tg}x=1,\\\cos x=-\sqrt2/2.\end{cases}

Показать решение задания 11

Тангенс равен 1 при $45^\circ$ и $225^\circ$ на этом промежутке. Косинус отрицателен у $225^\circ$ и равен $-\sqrt2/2$ . Ответ: $225^\circ$ . ОДЗ тангенса выполнено.

Сумма углов

Решите систему при $x,y\in[0;\pi]$ .

\begin{cases}x+y=\pi,\\\sin x+\sin y=\sqrt3.\end{cases}

Показать решение задания 12

Из $y=\pi-x$ следует $\sin y=\sin x$ . Значит, $2\sin x=\sqrt3$ , откуда $x=\pi/3$ или $2\pi/3$ . Ответ: $(\pi/3;2\pi/3)$ , $(2\pi/3;\pi/3)$ . У обеих пар сумма углов $\pi$ , а сумма синусов $\sqrt3$ .

Сопоставьте систему и общий ответ

Сопоставьте системы: A) $\sin x=0$ , $\cos x=1$ ; Б) $\sin x=0$ , $\cos x=-1$ ; В) $\sin x=1$ , $\cos x=0$ . Ответы: 1) $\pi+2\pi k$ ; 2) $\pi/2+2\pi k$ ; 3) $2\pi k$ . Во всех ответах $k\in\mathbb Z$ .

Показать решение задания 13

A–3, Б–1, В–2. Среди нулей синуса $x=\pi n$ косинус равен 1 для чётных $n$ и $-1$ для нечётных. При синусе 1 имеем $x=\pi/2+2\pi k$ , и косинус там равен 0. Каждая выбранная серия решений выполняет обе строки своей системы.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Объединить вместо пересечения

Для одного x подходят только общие решения всех строк. Выполнение одного равенства недостаточно.

Один параметр на независимые углы

У $\sin x=0$ , $\sin y=0$ параметры $k$ и $n$ независимы. Связывайте их только при наличии условия на x и y.

Принять замену за угол

Если $u=\sin x=1/2$ , это не означает $x=1/2$ . Вернитесь к тригонометрическому уравнению и его ветвям.

Забыть ОДЗ и промежуток

Тангенс требует $\cos x\ne0$ . Проверяйте единицы угла, каждое ограничение и включение концов.

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Проверьте, что умеете отличать пересечение условий от выбора ветвей, сохранять периоды и находить обе координаты. Для дальнейшей практики повторите алгебраические системы.

Программа

Связь с программой

Тема 09 спецификации НЦТ включает системы тригонометрических уравнений. Здесь: общий угол, подстановка, линейные комбинации аргументов и замена значений функций. Неравенства и параметры — отдельные темы. Выбор примеров не означает частоту задания на экзамене.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 1 октября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.