Тригонометрические неравенства: от точки на круге к дуге решений

Для $\sin x>1/2$ найдём границы: на одном обороте $\sin x=1/2$ при $x=\pi/6$ и $x=5\pi/6$. Между ними точка окружности выше горизонтали $y=1/2$. Проверка серединой: при $x=\pi/2$ синус равен 1, то есть подходит.

Поэтому на обороте $[0;2\pi)$ решение — $(\pi/6;5\pi/6)$. Концы не входят: там равенство. Для знака ≥ оба конца включились бы.

Синус повторяется после полного оборота $2\pi$. Все решения:

$x\in\left(\frac\pi6+2\pi k;\frac{5\pi}6+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$

$k\in\mathbb Z$ означает, что k принимает любое целое значение, в том числе отрицательное и ноль. В обеих границах один и тот же k: так переносится целый промежуток.

Косинус — горизонтальная координата точки круга. Для $\cos x>1/2$ нужны точки правее вертикали с координатой 1/2. Границы — углы $-\pi/3$ и $\pi/3$; между ними лежит угол 0, где косинус равен 1.

Удобная запись без разрыва у нуля:

$x\in\left(-\frac\pi3+2\pi k;\frac\pi3+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$

На обороте $[0;2\pi)$ эта дуга выглядит как два промежутка: $[0;\pi/3)\cup(5\pi/3;2\pi)$. Ноль включён, потому что косинус нуля больше 1/2; $2\pi$ исключён самим выбранным оборотом.

Равносильные периодические записи могут выглядеть по-разному. Проверяйте выбранную дугу, а не только внешний вид формулы.

Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1. Поэтому $\sin x>2$ не имеет решений, а $\cos x<2$ выполняется для всех действительных x.

Граница диапазона требует внимания: $\sin x\ge1$ означает ровно $\sin x=1$. Получаем отдельные точки $x=\pi/2+2\pi k$, а не промежутки.

Если число не табличное, назовите граничный угол. Например, $\alpha=\arcsin(1/3)$ — угол из $[-\pi/2;\pi/2]$ с синусом 1/3. Тогда $\sin x>1/3$ даёт $(\alpha+2\pi k;\pi-\alpha+2\pi k)$.

А $\arccos a$ — угол из $[0;\pi]$ с косинусом a. Эти записи точные: десятичные приближения не нужны, если их не просит условие.

На промежутке $(-\pi/2;\pi/2)$ тангенс возрастает. Для $\operatorname{tg}x>1$ граница равенства — $\pi/4$, а справа находится разрыв $\pi/2$. Получаем $(\pi/4;\pi/2)$, затем повторяем через $\pi$.

Тангенс не определён при $x=\pi/2+\pi k$. Эти края никогда не включаются, даже при ≥. Отношение $\operatorname{tg}x=\sin x/\cos x$ нельзя умножать на косинус без учёта его знака.

Котангенс на $(0;\pi)$ убывает. Для $\operatorname{ctg}x>1$ подходит $(0;\pi/4)$, затем период $\pi$. Котангенс не определён при $x=\pi k$.

Не переносите направление решения с тангенса на котангенс: у одного значения растут, у другого уменьшаются.

В $\sin(2x-\pi/3)\ge0$ обозначим весь угол $t=2x-\pi/3$. Для синуса неотрицательна верхняя полуокружность:

$2\pi k\le t\le\pi+2\pi k.$

Теперь подставим t, прибавим π/3 ко всем трём частям и разделим на 2:

$\frac\pi6+\pi k\le x\le\frac{2\pi}3+\pi k.$

Период тоже разделился на 2. Если коэффициент при x отрицателен, при делении меняются направления обоих знаков; удобнее затем расположить меньшую границу слева.

При отдельном условии, например $0\le x\le2\pi$, отберите только пересечения с этим отрезком. Не ограничивайтесь автоматически k=0: соседние периоды тоже могут дать часть решения.