Рациональные неравенства: находим все подходящие промежутки

Сравнение $x>3$ выполняется для всех чисел правее 3. Само число 3 не подходит: оно равно 3, а не больше. Краткая запись ответа: $x\in(3;+\infty)$.

Знак $\in$ читается «принадлежит». Круглая скобка исключает край, квадратная включает. Например, $-2<x\le5$ записывается $x\in(-2;5]$. У бесконечности всегда круглая скобка: это не число, которое можно включить.

Символ $\cup$ объединяет варианты: $(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$ означает «меньше нуля или больше двух». Для записи одной точки используем фигурные скобки, например $\{3\}$.

Строгие знаки $<$ и $>$ не разрешают равенство. Нестрогие $\le$ и $\ge$ его разрешают — если выражение в этой точке определено.

Решим $-2x<6$. Деление на −2 даёт $x>-3$. Проверка: $x=0$ подходит, а $x=-4$ даёт $8<6$, что неверно.

Причина видна на числах: $2<5$, но $-2>-5$. Умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный.

К обеим частям можно прибавить одно число или выражение. Умножение или деление на положительное число сохраняет знак, на отрицательное — меняет его. Делить на ноль нельзя.

Если множитель содержит x, его знак сначала нужно выяснить. Поэтому умножать неравенство на $x-2$ без разбора случаев опасно.

Рассмотрим $\frac{x-1}{x+2}\le0$. При $x=-2$ знаменатель равен нулю, поэтому эта точка запрещена. При $x=1$ дробь равна нулю и подходит. Эти две точки делят прямую на три промежутка.

Проверим по одному числу из каждого: при $x=-3$ оба множителя отрицательны, дробь положительна; при $x=0$ знаки разные, дробь отрицательна; при $x=2$ оба положительны. На каждом из этих промежутков знак постоянен.

Ответ: $(-2;1]$. Это и есть метод интервалов: вместо бесконечного числа подстановок проверяем по одному числу на каждом участке между критическими точками — нулями числителя и знаменателя.

Алгоритм:

1. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был ноль.
2. Приведите к одной дроби и разложите на множители; сохраните исходные ограничения.
3. Отметьте нули числителя и запрещённые значения.
4. Проверьте знак внутри каждого промежутка.
5. Выберите нужные промежутки и отдельно проверьте границы.

Для $(x-2)(x-5)<0$ произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Это происходит при $2<x<5$. Слева от 2 оба множителя отрицательны, справа от 5 оба положительны.

Если квадратный трёхчлен имеет два разных корня и положительный старший коэффициент, он отрицателен между корнями и положителен снаружи. При отрицательном старшем коэффициенте знаки противоположны.

Но правило «всегда между корнями» неверно. Сначала смотрите на знак неравенства и коэффициент. Если корней нет, проверьте знак выражения: например, $x^2+4>0$ при любом действительном x.

Равенство нулю разрешено только при нестрогом знаке. Для $(x-2)(x-5)\le0$ ответ уже $[2;5]$.

Квадрат $(x-3)^2$ положителен по обе стороны от 3 и равен нулю в самой точке. Поэтому при переходе через 3 знак такого множителя не меняется. У нечётной степени, например $(x-3)^3$, меняется.

Число повторений множителя называют кратностью корня. Не нужно угадывать чередование плюсов и минусов: подстановка одного числа на каждом промежутке работает и с кратными корнями.

При сокращении дроби исходные ограничения сохраняются. Например, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ только при $x\ne2$. Даже если сокращённое выражение определено в 2, исходная дробь там не существует.

При нестрогом знаке не забывайте отдельный ноль числителя. Например, $(x-3)^2\le0$ имеет единственное решение $x=3$, а не пустой промежуток.