Профильная математика · ЕНТ · На русском

Логарифмические системы: от условий к подходящей паре

Если логарифм x по основанию 2 равен 3, то x равно 8. В системе это число должно подходить ещё и ко второму условию. Разберём, как свойства логарифмов превращают два условия в знакомую алгебру и почему не каждую найденную пару можно оставить.

Разобранных примеров: 6Задач с решениями: 14

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Логарифмические системы» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

Сначала смысл и ограничения, затем преобразования

Нужны определение и свойства логарифма, линейные и квадратные системы. Все неизвестные действительные. Сначала повторим, какие числа можно подставлять в логарифм.

Решение системы — одна пара для всех строк

В системе $\log_2x=3$ , $x+y=11$ первая строка даёт $x=2^3=8$ . Тогда вторая даёт $y=3$ . Ответ — $(8;3)$ : сначала x, затем y.

Логарифм $\log_a b$ — показатель степени: $a^{\log_a b}=b$ . Для действительных логарифмов нужны $a>0$ , $a\ne1$ и $b>0$ .

Здесь $y=3$ найдено из обычного уравнения: если y не стоит в аргументе или основании, требовать $y>0$ автоматически нельзя. Ограничения определяются конкретной записью.

Объединяя логарифмы, не теряйте их область определения

Пусть $\log_2x+\log_2y=3$ . Сначала запишем $x>0$ и $y>0$ . На этой области сумма равна $\log_2(xy)$ , поэтому $xy=8$ .

Пара (x; y)	xy = 8?	x > 0 и y > 0?
(2; 4)	Да	Да
(−2; −4)	Да	Нет

Для log₂x + log₂y = 3 положительного произведения недостаточно: каждый исходный аргумент должен быть положительным.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестных, при которых исходные выражения имеют смысл. Переход к $xy=8$ сохраняет исходное уравнение только вместе с ограничениями.

Для $\log_3(x-1)$ нужно $x>1$ . Для $\log_x y$ нужны $x>0$ , $x\ne1$ , $y>0$ . Для $\log_2(x^2)$ достаточно $x\ne0$ : отрицательные x здесь разрешены.

Проверять только произведение аргументов недостаточно. Оба отрицательных аргумента тоже дают положительное произведение, но исходная сумма логарифмов не существует.

Сумма и разность логарифмов дают произведение и частное

Рассмотрим систему $\log_2x+\log_2y=4$ , $x-y=6$ . На ОДЗ $x,y>0$ первая строка означает $xy=16$ . Подставим $x=y+6$ : $y^2+6y-16=0$ . Корни y — 2 и −8; второй нарушает ОДЗ. Остаётся $(8;2)$ .

Для одного и того же основания $a>0$ , $a\ne1$ и аргументов $x>0$ , $y>0$ :

\log_a x+\log_a y=\log_a(xy),

\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.

Не заменяйте сумму логарифмов логарифмом суммы. После преобразования первой строки сохраните вторую: именно она связывает координаты пары.

Новые переменные — значения логарифмов

В системе $\log_2x+\log_2y=1$ , $\log_2x-\log_2y=3$ обозначим $u=\log_2x$ и $v=\log_2y$ . Получим $u+v=1$ , $u-v=3$ , откуда $u=2$ , $v=-1$ .

Вернёмся к неизвестным: $x=2^u=4$ , $y=2^v=1/2$ . Отрицательное значение v допустимо: $\log_2(1/2)=-1$ .

Логарифм может быть отрицательным, его аргумент — нет. Новые u и v здесь любые действительные числа. Это отличается от замены $u=2^x$ , при которой обязательно $u>0$ .

Если встречаются основания 2 и 4, полезно сначала привести их к одному: $\log_4y=\tfrac12\log_2y$ . Коэффициент 1/2 следует из формулы смены основания.

Проверяем пару, а не два отдельных списка чисел

Для положительных x и y система $x+y=13$ , $xy=36$ имеет две пары: $(4;9)$ и $(9;4)$ . Если вместо суммы дано $x-y=5$ , то из системы $xy=36$ , $x-y=5$ подходит только положительная пара $(9;4)$ . Ответ зависит от обеих строк, а не только от произведения.

Порядок действий:

Запишите ограничения всех исходных логарифмов.
Преобразуйте систему, сохраняя связь между переменными.
Если была замена, вернитесь к x и y.
Отберите пары по ОДЗ и проверьте обе исходные строки.

Если при исключении получилось $0=0$ , это не означает, что подходят любые x и y: оставшееся уравнение и ОДЗ всё ещё действуют.

Разбираем вместе

Примеры по шагам

В каждом решении сохраняем условия на исходные логарифмы и восстанавливаем именно пару (x; y).

Пример 1

Сумма и разность логарифмов

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_3x+\log_3y=4,\\\log_3x-\log_3y=2.\end{cases}$

ОДЗ: $x>0$ , $y>0$ . Складывая строки, получаем $2\log_3x=6$ , значит, $\log_3x=3$ и $x=27$ .

Первая строка теперь даёт $\log_3y=1$ , поэтому $y=3$ . Ответ: $(27;3)$ . Проверка: значения логарифмов — 3 и 1; сумма 4, разность 2.

Пример 2

Сумма аргументов и их произведение

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_2y=5,\\x+y=12.\end{cases}$

На ОДЗ $x,y>0$ первая строка равносильна $xy=32$ . Подставим $y=12-x$ :

$x(12-x)=32,$

$x^2-12x+32=(x-4)(x-8)=0.$

Если $x=4$ , то $y=8$ ; если $x=8$ , то $y=4$ . Ответ: $(4;8)$ , $(8;4)$ . Обе пары положительны; логарифмы равны 2 и 3, их сумма 5, а сумма координат 12.

Пример 3

Аргументы со сдвигом

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2(x-1)+\log_2(y+1)=3,\\x-y=2.\end{cases}$

ОДЗ: $x>1$ , $y>-1$ . Из второй строки $y=x-2$ , поэтому $y+1=x-1$ .

Объединим логарифмы: $\log_2((x-1)(y+1))=3$ . По определению $(x-1)(y+1)=8$ . Подставим $y+1=x-1$ : получаем $(x-1)^2=8$ . Поскольку $x-1>0$ , берём $x-1=2\sqrt2$ .

Ответ: $(1+2\sqrt2;-1+2\sqrt2)$ . Оба аргумента равны $2\sqrt2>0$ , их произведение 8; разность координат 2.

Пример 4

Квадратная система для значений логарифмов

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_2y=1,\\(\log_2x)(\log_2y)=-2.\end{cases}$

ОДЗ: $x,y>0$ . Пусть $u=\log_2x$ , $v=\log_2y$ . Тогда $u+v=1$ , $uv=-2$ .

Подставим $v=1-u$ : $u^2-u-2=(u-2)(u+1)=0$ . Пары (u;v) — $(2;-1)$ и $(-1;2)$ .

После обратной замены ответ: $(4;1/2)$ , $(1/2;4)$ . Значения логарифмов 2 и −1 действительно имеют сумму 1 и произведение −2.

Пример 5

Разные основания

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_4y=4,\\\log_2x-\log_2y=1.\end{cases}$

ОДЗ: $x,y>0$ . Обозначим $u=\log_2x$ , $v=\log_2y$ . Тогда $\log_4y=v/2$ .

Получаем $u+v/2=4$ , $u-v=1$ . Из второго $u=v+1$ ; подстановка даёт $3v/2=3$ , значит, $v=2$ , $u=3$ .

Ответ: $(8;4)$ . Проверка: $3+1=4$ , $3-2=1$ .

Пример 6

Переменное основание тоже имеет ограничения

Задание

Решите систему.

$\begin{cases}\log_xy=2,\\x+y=6.\end{cases}$

ОДЗ: $x>0$ , $x\ne1$ , $y>0$ . По определению логарифма $y=x^2$ . Подстановка даёт $x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0$ .

$x=-3$ запрещён как основание; $x=2$ даёт $y=4$ . Ответ: $(2;4)$ . Проверка: $\log_2 4=2$ , $2+4=6$ .

14 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Задания с выбором ответа и на соответствие — сокращённые учебные варианты, а не копия формата ЕНТ и не пробный тест.

Перед началомОриентир для занятия: 35–50 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

Выберите подходящую пару

Для системы $\log_2x=2$ , $x+y=7$ выберите один ответ: А) (2;5); Б) (4;3); В) (4;7).

Показать решение задания 1

Б: (4;3). По определению $x=2^2=4$ , затем $y=7-4=3$ . В А перепутаны логарифм и аргумент; в варианте В вторая строка не выполнена.

Сложение двух строк

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_2y=5,\\\log_2x-\log_2y=1.\end{cases}$

Показать решение задания 2

ОДЗ: $x,y>0$ . Сложение даёт $\log_2x=3$ , затем $\log_2y=2$ . Ответ: $(8;4)$ . Проверка: 3+2=5, 3−2=1.

Аргумент меньше единицы

Решите систему.

$\begin{cases}\log_3x+\log_3y=-1,\\\log_3x-\log_3y=3.\end{cases}$

Показать решение задания 3

На ОДЗ сумма строк даёт $2\log_3x=2$ . Значит, $x=3$ , $\log_3y=-2$ , $y=1/9$ . Ответ: $(3;1/9)$ . Проверка: 1+(−2)=−1, 1−(−2)=3.

Два порядка

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_2y=4,\\x+y=10.\end{cases}$

Показать решение задания 4

ОДЗ: $x,y>0$ . Получаем $xy=16$ , $y=10-x$ . Тогда $x^2-10x+16=(x-2)(x-8)=0$ . Ответ: $(2;8)$ , $(8;2)$ . Логарифмы 1 и 3 дают сумму 4, координаты — 10.

Разность — это частное

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x-\log_2y=2,\\x+y=15.\end{cases}$

Показать решение задания 5

ОДЗ: $x,y>0$ . Из $\log_2(x/y)=2$ следует $x/y=4$ , то есть $x=4y$ . Тогда $5y=15$ . Ответ: $(12;3)$ . Проверка: $\log_2(12/3)=2$ , сумма 15.

Сдвинутые аргументы

Решите систему.

$\begin{cases}\log_3(x-2)=1,\\\log_2(y+1)=2.\end{cases}$

Показать решение задания 6

ОДЗ: $x>2$ , $y>-1$ . Получаем $x-2=3$ , $y+1=4$ . Ответ: $(5;3)$ . Оба аргумента положительны, логарифмы равны 1 и 2.

ОДЗ исключает все пары

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_2y=3,\\x+y=-6.\end{cases}$

Показать решение задания 7

ОДЗ требует $x>0$ , $y>0$ , поэтому $x+y>0$ . Это несовместимо со второй строкой. Решений нет. Пары с отрицательными координатами не могут удовлетворять исходной системе.

Смена основания

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2x+\log_4y=3,\\\log_2x-\log_2y=0.\end{cases}$

Показать решение задания 8

Пусть $u=\log_2x$ , $v=\log_2y$ при $x,y>0$ . Тогда $u+v/2=3$ , $u=v$ . Получаем $v=u=2$ . Ответ: $(4;4)$ . Проверка: 2+1=3, 2−2=0.

Основание может быть меньше единицы

Решите систему.

$\begin{cases}\log_xy=-1,\\x+y=5/2.\end{cases}$

Показать решение задания 9

ОДЗ: $x>0$ , $x\ne1$ , $y>0$ . Из первой строки $y=1/x$ , поэтому $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0$ . Ответ: $(1/2;2)$ , $(2;1/2)$ . Оба основания допустимы; возведение каждого в степень −1 даёт вторую координату.

Исправьте потерю ограничений

Ученик решил систему $\log_2x+\log_2y=3$ , $x-y=2$ и оставил пары $(4;2)$ и $(-2;-4)$ . Что исправить?

Показать решение задания 10

Вторая пара имеет положительное произведение 8, но оба исходных логарифма не определены. Требуется $x,y>0$ . Оставляем только $(4;2)$ : 2+1=3 и 4−2=2. ОДЗ нужно записать до объединения логарифмов.

Логарифм квадрата

Решите систему.

$\begin{cases}\log_2(x^2)=4,\\y=x+1.\end{cases}$

Показать решение задания 11

ОДЗ: $x\ne0$ , дополнительных ограничений на y нет. $x^2=16$ , поэтому $x=4$ или −4. Ответ: $(4;5)$ , $(-4;-3)$ . В обоих случаях аргумент 16 и логарифм 4; вторая координата на 1 больше первой.

Замена с двумя парами

Решите систему.

$\begin{cases}\log_3x+\log_3y=1,\\(\log_3x)(\log_3y)=-6.\end{cases}$

Показать решение задания 12

При $x,y>0$ положим $u=\log_3x$ , $v=\log_3y$ . $u+v=1$ , $uv=-6$ дают $u^2-u-6=(u-3)(u+2)=0$ . Пары логарифмов — $(3;-2)$ и $(-2;3)$ . Ответ: $(27;1/9)$ , $(1/9;27)$ . Сумма логарифмов 1, произведение −6.

Основание 1 запрещено

Решите систему.

$\begin{cases}\log_xy=2,\\x+y=2.\end{cases}$

Показать решение задания 13

На ОДЗ $x>0$ , $x\ne1$ , $y>0$ имеем $y=x^2$ . Тогда $x^2+x-2=(x-1)(x+2)=0$ . Кандидат 1 запрещён как основание, −2 отрицателен. Решений нет.

Сопоставьте условия и пары

Во всех системах $\log_2x-\log_2y=1$ . Сопоставьте вторую строку: А) $x+y=9$ ; Б) $x+y=3$ ; В) $x+y=12$ . Пары: 1) (2;1); 2) (8;4); 3) (6;3). Каждый вариант используется один раз.

Показать решение задания 14

А–3, Б–1, В–2. На ОДЗ первая строка даёт $x=2y$ . Сумма равна 3y: y принимает 3, 1 и 4 соответственно. Все координаты положительны, а отношение x/y равно 2.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Заменить ОДЗ условием xy > 0

Для $\log_a x+\log_a y$ нужны отдельно $x>0$ и $y>0$ .

Отбросить отрицательный логарифм

$\log_2(1/2)=-1$ определён. Ограничение относится к аргументу, а не к значению логарифма.

Забыть обратную замену

Если $u=\log_2x=3$ , то $x=8$ . Ответ должен содержать исходные x и y.

Не проверить переменное основание

В $\log_x y$ число x положительно и не равно 1. Корень алгебраического уравнения может нарушать эти условия.

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Проверьте каждый исходный аргумент и основание, затем обе строки системы. Если трудность была в свойствах логарифмов или решении квадратного уравнения, повторите соответствующий материал.

Программа

Связь с программой

Тема 09 спецификации НЦТ включает системы логарифмических уравнений. Здесь рассматриваем свойства логарифмов, подстановку, замену переменных и простую систему с переменным основанием. Неравенства и задачи с параметрами — отдельные темы.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 1 октября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.