Арифметическая прогрессия: от смысла к решению

В последовательности 12, 15, 18, 21, … каждый следующий член получается прибавлением 3. Это арифметическая прогрессия. Её постоянная разность d равна следующему члену минус предыдущий: d=15−12=3.

Обозначение $a_n$ означает число на месте n. Здесь $a_1=12$, $a_2=15$, $a_3=18$. Индекс — не множитель: $a_3$ не означает 3a.

Правило перехода: $a_{n+1}=a_n+d$. Разность бывает отрицательной (8, 5, 2, …), нулевой (7, 7, 7, …) и дробной. По нескольким первым числам правило можно лишь предположить; чтобы последовательность была прогрессией, правило $a_{n+1}=a_n+d$ должно выполняться для всех положительных целых n.

От первого ряда до четвёртого три прибавки: 12→15→18→21. Поэтому $a_4=12+3\cdot3$, а не 12+4·3.

В общем виде:

Например, в ряду номер 10 будет $12+9\cdot3=39$ мест. Для любого известного члена можно начать отсчёт от его номера: $a_n=a_k+(n-k)d$.

Если известны $a_3=10$ и $a_7=26$, между ними четыре шага. Поэтому $d=(26-10)/(7-3)=4$, а $a_1=10-2\cdot4=2$.

Сложим первые четыре члена 12, 15, 18, 21. Крайние дают 12+21=33, средние — 15+18=33. Сумма равна 66.

Для любого n запишем сумму один раз в прямом, второй — в обратном порядке. В каждой из n колонок получим $a_1+a_n$. Таким образом, $2S_n=n(a_1+a_n)$, где $S_n$ — сумма первых n членов.

Этот вывод работает и для нечётного n: мы складывали две полные суммы, поэтому не требуется целое число пар в одной строке. Не путайте отдельный член $a_n$ с общей суммой $S_n$.

Есть ли число 35 в прогрессии 5, 9, 13, …? Подставим значение в формулу: 35=5+4(n−1). Получаем n=8,5. Но номер должен быть целым, поэтому такого члена нет.

Число 33 входит: 33=5+4(n−1) даёт n=8. Нельзя округлять номер до ближайшего целого — это уже будет другой член.

Если из суммы получается квадратное уравнение для n, также сохраняйте только положительные целые решения и проверяйте исходную сумму.

Для трёх соседних членов $a_k-d$, $a_k$, $a_k+d$ сумма крайних равна $2a_k$. Поэтому средний член равен среднему арифметическому соседей: $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$ при k≥2.

Например, если 7, x, 19 — три последовательных члена, то x=(7+19)/2=13, разность 6.

Чтобы сложить члены с номера 4 до номера 9, их 9−4+1=6, а не 5. Они сами образуют конечную арифметическую прогрессию, поэтому сумма равна $6(a_4+a_9)/2$. Можно также вычислить $S_9-S_3$.