Профильная математика · ЕНТ · На русском

Логарифмические неравенства: от смысла к решению

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание? Если основание 2, большему положительному числу соответствует больший показатель. У основания 1/2 порядок обратный. Научимся использовать это различие и сохранять все ограничения исходной записи.

Разобранных примеров: 6Задач с решениями: 14

Разобраться с Ari Перейти к задачам

Помощь по теме

Разберите непонятный шаг с Ari

Спросите о правиле, укажите номер задачи или приложите фото своего решения. Тьютор поможет разобраться по одному шагу.

Привет! Я Ari. Помогу разобраться в теме «Логарифмические неравенства» или в задании с этой страницы. С чего начнём?

AI может ошибаться. Сверяйте важные результаты с разобранными решениями ниже.

От смысла к правилам

Разбираемся шаг за шагом

Нужны определение и свойства логарифма, линейные и квадратные неравенства, метод интервалов. Работаем с действительными числами; отдельно разберём простой случай переменного основания.

Почему основание меняет направление

В $\log_2 x>3$ спрашивается, когда показатель степени двойки больше 3. Так как $2^3=8$ , ответ x>8. У $\log_{1/2}x>3$ ответ другой: $0<x<1/8$ , потому что степень основания 1/2 уменьшается при увеличении показателя.

Аргумент	log₂	log_1/2
1/4	−2	2
1	0	0
4	2	−2

Аргумент растёт сверху вниз. При основании 2 значения возрастают, при основании 1/2 — убывают. Таблица иллюстрирует порядок; условие положительного аргумента действует в обоих случаях.

Для фиксированного основания a>1 логарифм возрастает, а для 0<a<1 убывает. Поэтому при положительных u и v:

если a>1, то $\log_a u>\log_a v$ равносильно u>v;
если 0<a<1, то то же неравенство равносильно u<v.

Для нестрогого знака правило направления то же. Основание должно быть положительным и отличным от 1. Таблица выше показывает порядок значений на конкретных числах.

Неравенство с числом справа: сохраняем ОДЗ

Решим $\log_3(x-2)\le2$ . ОДЗ, то есть область допустимых значений: x−2>0, откуда x>2. Число 2 можно записать как $\log_3 9$ .

Основание 3>1, поэтому x−2≤9 и x≤11. Оба условия должны выполняться одновременно:

2<x\le11.

Ответ — $(2;11]$ . Число 2 исключено из-за нулевого аргумента, 11 включено из-за нестрогого знака. ОДЗ — условие существования записи; само по себе оно ещё не решает неравенство.

Основание меньше единицы: две границы

В $\log_{1/2}(x+1)>-2$ сначала x>−1. Правая часть равна $\log_{1/2}4$ . Основание меньше 1, значит, x+1<4. Вместе с ОДЗ получаем −1<x<3.

Не меняйте знак при записи ОДЗ: аргумент всегда больше нуля, независимо от основания. Направление меняется только при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов.

Сумма логарифмов: ограничения каждого слагаемого

Решим $\log_2 x+\log_2(x-2)\le3$ . Каждый исходный аргумент положителен, поэтому x>2. На этой области можно объединить логарифмы:

\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)\le3.

Основание >1, значит, $x^2-2x\le8$ , или $(x-4)(x+2)\le0$ . Получаем −2≤x≤4. Пересекаем с x>2: $(2;4]$ .

Одно условие x(x−2)>0 не заменяет две исходные положительности: при x<0 произведение положительно, но оба исходных логарифма не существуют.

Квадрат относительно логарифма

В $(\log_2 x)^2-3\log_2 x+2\le0$ сначала x>0, затем обозначим $t=\log_2 x$ . Получаем $(t-1)(t-2)\le0$ , то есть 1≤t≤2.

Возвращаемся к x: $1\le\log_2 x\le2$ , откуда 2≤x≤4.

В отличие от замены $t=2^x$ из темы показательных неравенств, значение $t=\log_2 x$ может быть любым действительным числом. Ограничение t>0 здесь добавлять нельзя. Например, x=1/2 даёт t=−1.

Если основание зависит от x

Рассмотрим $\log_x 4>1$ . ОДЗ: x>0 и x≠1; аргумент 4 положителен. Число 1 равно $\log_x x$ , поэтому сравниваем аргументы 4 и x, разделив область основания.

При x>1 логарифм возрастает: 4>x, значит, 1<x<4.
При 0<x<1 он убывает: 4<x. На этом промежутке это невозможно.

Ответ: (1;4). Нельзя заранее считать переменное основание большим единицы. Более сложные задачи с параметрами выходят за рамки этого вводного разбора.

Разбираем вместе

Примеры по шагам

В каждом примере сначала разберём условие, затем выполним преобразования и проверим ответ.

Пример 1

Возрастающий логарифм

Задание

Решите $\log_2(x+3)\ge4$ .

ОДЗ: x>−3. Поскольку $4=\log_2 16$ и 2>1, получаем x+3≥16, то есть x≥13. Это удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[13;+\infty)$ . При x=13 достигается равенство.

Пример 2

Убывающий логарифм

Задание

Решите $\log_{1/3}(2x-1)<-1$ .

ОДЗ: x>1/2. Справа $\log_{1/3}3$ . Меняем направление: 2x−1>3, откуда x>2.

Ответ: $(2;+\infty)$ . При x=2 равенство, поэтому конец исключён.

Пример 3

Логарифмы с обеих сторон

Задание

Решите $\log_2(3x-1)>\log_2(x+5)$ .

ОДЗ: x>1/3 и x>−5, вместе x>1/3. Основание >1: 3x−1>x+5, откуда x>3.

Ответ: $(3;+\infty)$ . На всём ответе оба аргумента положительны.

Пример 4

Разность логарифмов

Задание

Решите $\log_2(x+1)-\log_2(x-1)\ge1$ .

ОДЗ: x>1. Объединяем: $\log_2\frac{x+1}{x-1}\ge1$ , значит, $(x+1)/(x-1)\ge2$ . На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому x+1≥2x−2 и x≤3.

Ответ: $(1;3]$ . Умножение на x−1 не меняет знак именно из-за x>1.

Пример 5

Замена допускает отрицательные значения

Задание

Решите $(\log_3 x)^2+\log_3 x-2<0$ .

ОДЗ: x>0. Пусть $t=\log_3 x$ . Тогда $(t+2)(t-1)<0$ , откуда −2<t<1. Основание 3>1, поэтому $3^{-2}<x<3^1$ .

Ответ: $(1/9;3)$ . Отрицательные t не нужно отбрасывать.

Пример 6

Переменное основание

Задание

Решите $\log_x 9\le2$ .

ОДЗ: x>0, x≠1. Число 2 равно $\log_x(x^2)$ . При x>1 сравниваем 9≤x²: x≥3. При 0<x<1 меняем знак: 9≥x², что верно на всём этом промежутке.

Ответ: $(0;1)\cup[3;+\infty)$ . Для проверки: при x=1/3 логарифм равен −2, при x=3 равен 2.

14 авторских заданий

Решите самостоятельно

Авторская тематическая практика с подробными решениями. Задания с выбором ответа и на соответствие — сокращённые учебные варианты, а не копия формата ЕНТ и не пробный тест.

Перед началомОриентир для занятия: 35–50 минут · Можно решать без калькулятора; запишите ход решения, прежде чем открыть ответ · решения скрыты до нажатия

ОДЗ и знак

Выберите один ответ для $\log_5 x<1$ : А) x<5; Б) 0<x<5; В) x>5.

Показать решение задания 1

Б. Сравнение даёт x<5, но исходный аргумент требует x>0. Вариант А включает недопустимые числа.

Сдвиг аргумента

Решите $\log_3(x-4)\ge2$ .

Показать решение задания 2

x>4; основание >1, поэтому x−4≥9, x≥13.

Ответ: $[13;+\infty)$ .

Основание 1/2

Решите $\log_{1/2}x\le2$ .

Показать решение задания 3

x>0. При убывающем основании x≥(1/2)²=1/4.

Ответ: $[1/4;+\infty)$ .

Отрицательная граница логарифма

Решите $\log_2(x+2)<-1$ .

Показать решение задания 4

ОДЗ x>−2. Сравнение даёт x+2<1/2, то есть x<−3/2.

Ответ: $(-2;-3/2)$ .

Два аргумента

Решите $\log_3(2x+1)\le\log_3(x+4)$ .

Показать решение задания 5

ОДЗ x>−1/2. Сравнение: 2x+1≤x+4, x≤3.

Ответ: $(-1/2;3]$ .

Два аргумента и убывание

Решите $\log_{1/2}(x+3)>\log_{1/2}(2x+1)$ .

Показать решение задания 6

ОДЗ x>−1/2. Меняем знак: x+3<2x+1, x>2.

Ответ: $(2;+\infty)$ .

Сумма логарифмов

Решите $\log_2 x+\log_2(x+2)\ge3$ .

Показать решение задания 7

ОДЗ x>0. Получаем x(x+2)≥8, или (x+4)(x−2)≥0: x≤−4 либо x≥2. С ОДЗ остаётся $[2;+\infty)$ .

Квадрат аргумента

Решите $\log_2(x^2)\le2$ .

Показать решение задания 8

ОДЗ x≠0. Сравнение: x²≤4, −2≤x≤2.

Ответ: $[-2;0)\cup(0;2]$ . Отрицательные x допустимы; нельзя заменять логарифм на $2\log_2 x$ для всех x из ОДЗ. Верно $\log_2(x^2)=2\log_2|x|$ при x≠0.

Квадрат логарифма

Решите $(\log_2 x)^2<4$ .

Показать решение задания 9

x>0, $t=\log_2 x$ . Получаем −2<t<2, откуда $1/4<x<4$ . Не путайте $(\log_2 x)^2$ с $\log_2(x^2)$ .

Исправьте потерю ОДЗ

В $\log_2(x-1)<2$ ученик получил x<5. Что пропущено?

Показать решение задания 10

Пропущено x−1>0. Пересечение x>1 и x<5 даёт $(1;5)$ . Например, x=0 удовлетворяет x<5, но исходный логарифм не существует.

Логарифм в знаменателе

Решите $\frac1{\log_2 x}>0$ .

Показать решение задания 11

ОДЗ x>0 и x≠1. Числитель положителен, значит, нужен положительный знаменатель: $\log_2 x>0$ , то есть x>1.

Ответ: $(1;+\infty)$ .

Переменное основание и знак

Решите $\log_x 4<0$ .

Показать решение задания 12

x>0, x≠1. При x>1 логарифм числа 4 положителен. При 0<x<1 любая неотрицательная степень x не больше 1, поэтому получить 4>1 можно только при отрицательном показателе: $\log_x4<0$ .

Ответ: $(0;1)$ .

Пустое пересечение

Решите $\log_2(x-2)\le\log_2(1-x)$ .

Показать решение задания 13

ОДЗ требует одновременно x>2 и x<1. Таких чисел нет; дальнейшие преобразования не нужны.

Ответ: $\varnothing$ .

Сопоставление

Сопоставьте: А) $\log_2 x>0$ ; Б) $\log_{1/2}x>0$ ; В) $\log_2 x\ge1$ . Промежутки: 1) (0;1); 2) [2;+∞); 3) (1;+∞). Каждый используется один раз.

Показать решение задания 14

А–3, Б–1, В–2. Сравниваем аргумент с 1 в А и Б, с 2 в В. При основании 1/2 направление меняется.

Остался вопрос? Обсудить с Ari ↑

Типичные ошибки

Что проверить в своём решении

Забыть исходные аргументы

Записывайте положительность каждого аргумента до объединения логарифмов.

Потребовать положительный логарифм

Положителен аргумент. Значение логарифма может быть отрицательным.

Не разделить переменное основание

Рассмотрите отдельно 0<a(x)<1 и a(x)>1; a(x)=1 запрещено.

Включить нулевой аргумент

Аргумент строго положителен даже при нестрогом знаке неравенства.

Закрепить основу

Готовы двигаться дальше?

Объясните ключевые шаги своими словами и решите несколько задач без подсказок. Если появились ошибки, вернитесь к соответствующему разобранному примеру.

Программа

Связь с программой

Тема 10 спецификации НЦТ с 2026 года включает логарифмические неравенства. Разбираем ОДЗ, два направления монотонности, свойства логарифмов, замену и простой пример переменного основания. Сложные параметры — отдельный материал.

Спецификация НЦТ по математике, используемая с 2026 года

Программа проверена 2 октября 2026 года. Объяснения, примеры и задания созданы для этого материала.