Системы неравенств: от смысла к решению

Пусть требуется одновременно x>1 и x≤4. Первое условие задаёт все числа правее 1, второе — все числа не правее 4. Их общая часть — (1;4].

Это пересечение: оставляем только числа, принадлежащие обоим множествам. Знак $\cap$ означает «и». Например, $(1;+\infty)\cap(-\infty;4]=(1;4]$.

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Число 1 не проходит первое условие, число 4 проходит оба. Бесконечность не является числом и всегда записывается с круглой скобкой.

Систему часто записывают под общей фигурной скобкой:

Она означает «и»: выполнить нужно оба условия.

Условия x<0 и x>2 одновременно невыполнимы: ответ $\varnothing$, пустое множество. Если же требуется x<0 или x>2, подходит любой из двух промежутков: $(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$. Знак $\cup$ означает объединение.

Внутри решения одного квадратного неравенства могут возникнуть две альтернативные ветви. Например, $x^2>4$ означает x<−2 или x>2. Но каждую из них ещё нужно пересечь с остальными условиями системы.

Для x²>4 и x≤3 получаем $(-\infty;-2)\cup(2;3]$. Пересечение не обязано быть одним промежутком.

Совокупность условий записывают с квадратной скобкой слева:

Она означает «или»: достаточно хотя бы одного условия. Это другая запись, чем квадратная скобка у конца числового промежутка.

Решим систему 2x−3>1 и 5−x≥2. Из первого: 2x>4, x>2. Из второго: −x≥−3, x≤3 — при делении на −1 знак меняется.

Общая часть x>2 и x≤3: (2;3]. Проверка: x=3 даёт 3>1 и 2≥2. x=2 не проходит строгое первое условие.

Если оба условия ограничивают x снизу, выбирайте более сильное: x>2 и x≥5 дают x≥5. Удобнее сначала нарисовать промежутки, чем запоминать отдельные правила на все случаи.

Пусть $(x-1)/(x+2)\ge0$ и x<3. Для дроби x≠−2. Критические точки — нуль числителя 1 и нуль знаменателя −2. Знаки слева направо: +, −, +.

Первое условие даёт $(-\infty;-2)\cup[1;+\infty)$. Пересекаем с $(-\infty;3)$:

Точка −2 запрещена знаменателем, 1 включена как нуль числителя, 3 исключена вторым условием. Не умножайте неравенство на x+2 без учёта его знака.

В системе $2^x\ge4$ и $(1/2)^x>1/8$ первое неравенство даёт x≥2. Во втором основание <1, поэтому x<3. Ответ: [2;3).

В системе $\log_2(x-1)>0$ и $\log_{1/2}(x-1)\ge-2$ общая ОДЗ — x>1. Первое даёт x−1>1, то есть x>2. Второе — x−1≤4, то есть x≤5. Ответ: (2;5].

Записывайте допустимость до преобразований; ограничения всех исходных выражений действуют на всю систему.

У системы x≥3 и x≤3 ровно одно решение: {3} — множество из одного числа 3. Если второе условие заменить на x<3, пересечение пусто.

Иногда одно условие верно при всех действительных x. Тогда оно не сужает ответ другого. Например, x²≥0 и x<2 дают x<2.

Если спрашивают целые решения, сначала найдите действительный промежуток. В (−2;3] это −1, 0, 1, 2, 3 — пять чисел. Не округляйте границы заранее: строгий знак влияет на включение целого конца.