Геометрическая прогрессия: от смысла к решению

В 3, 6, 12, 24, … каждый следующий член в два раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия; постоянный множитель q называют её знаменателем. Это название не означает, что q обязательно стоит под дробной чертой.

$b_n$ — член на месте n; правило перехода $b_{n+1}=qb_n$. Находим $q=b_{n+1}/b_n$. В школьном определении здесь $b_1\ne0$, q≠0, поэтому все члены ненулевые.

При q=−2, например 3, −6, 12, −24, …, знаки чередуются. При q=1 все члены одинаковы. При q=1/2 положительные члены уменьшаются вдвое. В отличие от арифметической прогрессии, сохраняется отношение, а не разность.

От первого члена 3 до четвёртого 24 три умножения на 2: $b_4=3\cdot2^3$. В общем виде:

Если известен $b_k$, можно писать $b_n=b_kq^{n-k}$. Например, при $b_2=6$ и $b_5=48$ между ними три перехода: $q^3=48/6=8$, значит, q=2.

Но из $b_3/b_1=9$ следует q²=9 и q=3 или q=−3. Если между членами чётное число шагов, положительное отношение не определяет знак q. При нечётном числе шагов, как в $q^3=8$, знак определяется однозначно. Дополнительное условие, например положительность всех членов, может убрать отрицательный вариант.

Для 3+6+12+24 сумма равна 45. Чтобы получить общую формулу, запишем

При вычитании совпадающие средние слагаемые сокращаются: $(1-q)S_n=b_1(1-q^n)$. Если q≠1, то

Можно одновременно поменять знаки числителя и знаменателя: $S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)$. При q=1 делить на 1−q нельзя: все члены равны $b_1$, поэтому $S_n=nb_1$. Сумма конечного числа членов существует при любом допустимом q.

У суммы 6+3+3/2+3/4+… первые результаты равны 6; 9; 10,5; 11,25. Они приближаются к 12. «Стремится к 12» означает: взяв достаточно много членов, можно получить частичную сумму сколь угодно близко к 12. По формуле конечной суммы $S_n=12(1-(1/2)^n)$; добавка $(1/2)^n$ стремится к нулю.

Для |q|<1 степень $q^n$ стремится к нулю, поэтому существует предел частичных сумм:

Такой предел и называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Название относится к уменьшению модулей членов: q может быть отрицательным. При $b_1=6$, q=−1/2 частичные суммы 6; 3; 4,5; 3,75; … приближаются к 4.

Для |q|≥1 и ненулевого первого члена сумма бесконечной прогрессии не существует. Например, 1−1+1−1+… даёт частичные суммы 1; 0; 1; 0; … без единственного предела; подставлять q=−1 в формулу бесконечной суммы нельзя.

Если величина каждый год увеличивается на 10% от текущего значения, ежегодный множитель равен $1+10/100=1{,}1$. Через три полных года от начальной величины B получим $B\cdot1{,}1^3$. Здесь исходное значение дано до первого изменения, поэтому изменений три, а не два.

В задаче о нумерованных членах по-прежнему $b_n=b_1q^{n-1}$. Если $b_1=B$ — значение в начальный момент, то через три года получаем $b_4=B\cdot1{,}1^3$: номер на 1 больше числа прошедших периодов. Всегда уточняйте, что в условии названо первым моментом.

Сумма с k-го по m-й член включает m−k+1 слагаемых. Можно начать новую прогрессию с $b_k$ и тем же q или вычесть $S_m-S_{k-1}$. Условия о росте на фиксированный процент и росте на фиксированное число приводят к разным моделям.